待证明-ZOJ 3576
2012-03-11 22:27
162 查看
m,n为正奇数且互质,在[1,m*n]上的m*n个正整数中,有m*n-1个正整数或为m的倍数或为n的倍数。将这m*n-1个数升序排序,记为a[1],a[2],...,a[m+n-1]。另设b,其中b[i]=(-1)^i*(a[i]-a[i-1])(a[0]=0,i=1,2,...,m+n-1)。
求证:sigma(b[i])=-1(i=1,2,...,m+n-1)。
例:m=3,n=5时,a[1]=3,a[2]=5,a[3]=6,a[4]=9,a[5]=10,a[6]=12,a[7]=15,b[1]=-3,b[2]=2,b[3]=-1,b[4]=3,b[5]=-1,b[6]=2,b[7]=-3,sigma(b[i])=-1。
时隔一年,重看此题,貌似想出来怎么证明了!这几天慢慢补上!
首先来看以下等式:
等式易由数学归纳法得到,下面阐述命题与等式奇数情况的等价性。
设d,其中d[i]=a[i]-a[i-1](a[0]=0,i=1,2,...,m+n-1),共有正奇数个,并且对称(1)。
不失一般性,假设m<n(当m=n时m=n=1,此时命题得证),此时可将d分为n个m,其中有些m则被一分为二(若分得的数目大于二,则会m>n),d中存在的数共有m种(1,2,...,m),除m外的m-1个数共出现两次(因为对称性)(2),剩下的m相隔偶数(m被分割后的数目必为偶数),故不影响其sgn值。
以上为大致的证明,具体(1)(2)的证明等下次继续……
求证:sigma(b[i])=-1(i=1,2,...,m+n-1)。
例:m=3,n=5时,a[1]=3,a[2]=5,a[3]=6,a[4]=9,a[5]=10,a[6]=12,a[7]=15,b[1]=-3,b[2]=2,b[3]=-1,b[4]=3,b[5]=-1,b[6]=2,b[7]=-3,sigma(b[i])=-1。
时隔一年,重看此题,貌似想出来怎么证明了!这几天慢慢补上!
首先来看以下等式:
等式易由数学归纳法得到,下面阐述命题与等式奇数情况的等价性。
设d,其中d[i]=a[i]-a[i-1](a[0]=0,i=1,2,...,m+n-1),共有正奇数个,并且对称(1)。
不失一般性,假设m<n(当m=n时m=n=1,此时命题得证),此时可将d分为n个m,其中有些m则被一分为二(若分得的数目大于二,则会m>n),d中存在的数共有m种(1,2,...,m),除m外的m-1个数共出现两次(因为对称性)(2),剩下的m相隔偶数(m被分割后的数目必为偶数),故不影响其sgn值。
以上为大致的证明,具体(1)(2)的证明等下次继续……
相关文章推荐
- zoj 1562 反素数 附上个人对反素数性质的证明
- ZJU2012.02月赛 F题(ZOJ 3576)
- ZOJ 2330 数学证明,二分
- ZOJ 3415 Zhou Yu 代码 + 证明 (保证看得懂)
- [zoj]3576 Count the Length
- zoj 1562 反素数 附上个人对反素数性质的证明
- zoj 1648 Circuit Board
- ZOJ 3696 Alien's Organ
- 数学题——判断素数是否有限并证明
- ZOJ月赛10,11,第二个
- ZOJ 4257
- zoj 1159 || poj 1002 487-3279
- zoj 1203 最小生成树—kruscal算法
- ZOJ 1088
- ZOJ 3908 Number Game
- 线段树的数组大小下限及证明
- ZOJ - 3203 Light Bulb
- zoj_3367Connect them
- ZOJ 1027
- zoj 3905 Cake