KMP算法详解及各种应用
2012-03-04 22:42
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KMP算法详解:
KMP算法之所以叫做KMP算法是因为这个算法是由三个人共同提出来的,就取三个人名字的首字母作为该算法的名字。其实KMP算法与BF算法的区别就在于KMP算法巧妙的消除了指针i的回溯问题,只需确定下次匹配j的位置即可,使得问题的复杂度由O(mn)下降到O(m+n)。
在KMP算法中,为了确定在匹配不成功时,下次匹配时j的位置,引入了next[]数组,next[j]的值表示P[0...j-1]中最长后缀的长度等于相同字符序列的前缀。
对于next[]数组的定义如下:
1) next[j]=-1 j=0
2) next[j]=max k:0<k<j P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
3) next[j]=0 其他
如:
P a b a b a
j 0 1 2 3 4
next -1 0 0 1 2
即next[j]=k>0时,表示P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
因此KMP算法的思想就是:在匹配过程称,若发生不匹配的情况,如果next[j]>=0,则目标串的指针i不变,将模式串的指针j移动到next[j]的位置继续进行匹配;若next[j]=-1,则将i右移1位,并将j置0,继续进行比较。
代码实现如下:
1、按照递推的思想:
根据定义next[0]=-1,假设next[j]=k, 即P[0...k-1]==P[j-k,j-1]
1)若P[j]==P[k],则有P[0..k]==P[j-k,j],很显然,next[j+1]=next[j]+1=k+1;
2)若P[j]!=P[k],则可以把其看做模式匹配的问题,即匹配失败的时候,k值如何移动,显然k=next[k]。
因此可以这样去实现:
给定一个字符串,问最多是多少个相同子串不重叠连接构成。
KMP的next数组应用。这里主要是如何判断是否有这样的子串,和子串的个数。
若为abababa,显然除其本身外,没有子串满足条件。而分析其next数组,next[7] = 5,next[5] = 3,next[3] = 1,即str[2..7]可由ba子串连接构成,那怎么否定这样的情况呢?很简单,若该子串满足条件,则len%sublen必为0。sunlen可由上面的分析得到为len-next[len]。
因为子串是首尾相接,len/sublen即为substr的个数。
若L%(L-next[L])==0,n = L/(L-next[L]),else n = 1
http://poj.org/problem?id=1961
大意:
定义字符串A,若A最多由n个相同字串s连接而成,则A=s^n,如"aaa" = "a"^3,"abab" = "ab"^2
"ababa" = "ababa"^1
给出一个字符串A,求该字符串的所有前缀中有多少个前缀SA= s^n(n>1)
输出符合条件的前缀长度及其对应的n
如aaa
前缀aa的长度为2,由2个'a'组成
前缀aaa的长度为3,由3个"a"组成
分析:KMP
若某一长度L的前缀符合上诉条件,则
1.next[L]!=0(next[L]=0时字串为原串,不符合条件)
2.L%(L-next[L])==0(此时字串的长度为L/next[L])
对于2:有str[0]....str[next[L]-1]=str[L-next[L]-1]...str[L-1]
=》str[L-next[L]-1] = str[L-next[L]-1+L-next[L]-1] = str[2*(L-next[L]-1)];
假设S = L-next[L]-1;则有str[0]=str[s]=str[2*s]=str[3*s]...str[k*s],对于所有i%s==0,均有s[i]=s[0]
同理,str[1]=str[s+1]=str[2*s+1]....
str[j]=str[s+j]=str[2*s+j]....
综上,若L%S==0,则可得L为str[0]...str[s-1]的相同字串组成,
总长度为L,其中字串长度SL = s-0+1=L-next[L],循环次数为L/SL
故对于所有大于1的前缀,只要其符合上述条件,即为答案之一
http://poj.org/problem?id=2752
大意:
给出一个字符串A,求A有多少个前缀同时也是后缀,从小到大输出这些前缀的长度。
分析:KMP
对于长度为len的字符串,由next的定义知:
A[0]A[1]...A[next[len]-1]=A[len-next[len]]...A[len-1]此时A[0]A[1]...A[next[len]-1]为一个符合条件的前缀
有A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1] = A[len-next[next[len] - next[next[len]]]...A[next[len]-1],故A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1]也是一个符合条件的前缀
故从len=>next[len]=>next[next[len]] ....=>直到某个next[]为0均为合法答案,注意当首位单词相同时,也为答案。
KMP算法之所以叫做KMP算法是因为这个算法是由三个人共同提出来的,就取三个人名字的首字母作为该算法的名字。其实KMP算法与BF算法的区别就在于KMP算法巧妙的消除了指针i的回溯问题,只需确定下次匹配j的位置即可,使得问题的复杂度由O(mn)下降到O(m+n)。
在KMP算法中,为了确定在匹配不成功时,下次匹配时j的位置,引入了next[]数组,next[j]的值表示P[0...j-1]中最长后缀的长度等于相同字符序列的前缀。
对于next[]数组的定义如下:
1) next[j]=-1 j=0
2) next[j]=max k:0<k<j P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
3) next[j]=0 其他
如:
P a b a b a
j 0 1 2 3 4
next -1 0 0 1 2
即next[j]=k>0时,表示P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
因此KMP算法的思想就是:在匹配过程称,若发生不匹配的情况,如果next[j]>=0,则目标串的指针i不变,将模式串的指针j移动到next[j]的位置继续进行匹配;若next[j]=-1,则将i右移1位,并将j置0,继续进行比较。
代码实现如下:
int KMPMatch(char *s,char *p) { int next[100]; int i , j; i = 0; j = 0; getNext(p , next); while(i < strlen(s)) { if(j == -1 || s[i] == p[j]) { i++; j++; } else { j = next[j]; //消除了指针i的回溯 } if(j == strlen(p)) return i - strlen(p); } return -1; }因此KMP算法的关键在于求算next[]数组的值,即求算模式串每个位置处的最长后缀与前缀相同的长度, 而求算next[]数组的值有两种思路,第一种思路是用递推的思想去求算,还有一种就是直接去求解。
1、按照递推的思想:
根据定义next[0]=-1,假设next[j]=k, 即P[0...k-1]==P[j-k,j-1]
1)若P[j]==P[k],则有P[0..k]==P[j-k,j],很显然,next[j+1]=next[j]+1=k+1;
2)若P[j]!=P[k],则可以把其看做模式匹配的问题,即匹配失败的时候,k值如何移动,显然k=next[k]。
因此可以这样去实现:
void getNext(char *p,int *next) { int j,k; next[0] = -1; j = 0; k = -1; while(j < strlen(p) - 1) { if(k == -1 || p[j] == p[k]) //匹配的情况下,p[j]==p[k] { j++; k++; next[j] = k; } else //p[j]!=p[k] k = next[k]; } }2、直接求解方法
void getNext(char *p,int *next) { int i , j , temp; for(i = 0 ; i < strlen(p) ; ++i) { if(i == 0) { next[i] = -1; //next[0]=-1 } else if(i == 1) { next[i] = 0; //next[1]=0 } else { temp = i - 1; for(j = temp ; j > 0 ; --j) { if( equals(p , i , j) ) { next[i] = j; //找到最大的k值 break; } } if(j == 0) next[i] = 0; } } } bool equals(char *p,int i,int j) //判断p[0...j-1]与p[i-j...i-1]是否相等 { int k = 0; int s = i - j; for( ; k <= j - 1 && s <= i - 1 ; k++ , s++) { if(p[k] != p[s]) return false; } return true; }http://poj.org/problem?id=2406
给定一个字符串,问最多是多少个相同子串不重叠连接构成。
KMP的next数组应用。这里主要是如何判断是否有这样的子串,和子串的个数。
若为abababa,显然除其本身外,没有子串满足条件。而分析其next数组,next[7] = 5,next[5] = 3,next[3] = 1,即str[2..7]可由ba子串连接构成,那怎么否定这样的情况呢?很简单,若该子串满足条件,则len%sublen必为0。sunlen可由上面的分析得到为len-next[len]。
因为子串是首尾相接,len/sublen即为substr的个数。
若L%(L-next[L])==0,n = L/(L-next[L]),else n = 1
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; char pattern[1000002]; int next[1000002]; /* kmp算法,需要首先求出模式串的next函数值 next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度 */ void get_nextval(const char* pattern) { int i=0,j=-1; next[0]= -1; while(pattern[i] != '\0') { if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] ) //pattern[i]表示后缀的单个字符,pattern[j]表示前缀的单个字符 { ++i; ++j; if(pattern[i] != pattern[j]) next[i]=j; else next[i]=next[j]; } else j=next[j]; //若j值不相同,则j值回溯 } }//get_nextval int main(void) { int len; while(scanf("%s",pattern)!=EOF) { if(pattern[0]=='.') break; len=strlen(pattern); get_nextval(pattern); if(len%(len-next[len])==0) printf("%d\n",len/(len-next[len])); else printf("1\n"); } return 0; }
http://poj.org/problem?id=1961
大意:
定义字符串A,若A最多由n个相同字串s连接而成,则A=s^n,如"aaa" = "a"^3,"abab" = "ab"^2
"ababa" = "ababa"^1
给出一个字符串A,求该字符串的所有前缀中有多少个前缀SA= s^n(n>1)
输出符合条件的前缀长度及其对应的n
如aaa
前缀aa的长度为2,由2个'a'组成
前缀aaa的长度为3,由3个"a"组成
分析:KMP
若某一长度L的前缀符合上诉条件,则
1.next[L]!=0(next[L]=0时字串为原串,不符合条件)
2.L%(L-next[L])==0(此时字串的长度为L/next[L])
对于2:有str[0]....str[next[L]-1]=str[L-next[L]-1]...str[L-1]
=》str[L-next[L]-1] = str[L-next[L]-1+L-next[L]-1] = str[2*(L-next[L]-1)];
假设S = L-next[L]-1;则有str[0]=str[s]=str[2*s]=str[3*s]...str[k*s],对于所有i%s==0,均有s[i]=s[0]
同理,str[1]=str[s+1]=str[2*s+1]....
str[j]=str[s+j]=str[2*s+j]....
综上,若L%S==0,则可得L为str[0]...str[s-1]的相同字串组成,
总长度为L,其中字串长度SL = s-0+1=L-next[L],循环次数为L/SL
故对于所有大于1的前缀,只要其符合上述条件,即为答案之一
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; char pattern[1000002]; int next[1000002]; /* kmp算法,需要首先求出模式串的next函数值 next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度 */ void get_nextval(const char* pattern) { int i=0,j=-1; next[0]= -1; while(pattern[i] != '\0') { if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] ) { ++i; ++j; next[i]=j; } else j=next[j]; } }//get_nextval int main(void) { int i,len,n,j=1; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { if(!n) break; scanf("%s",pattern); len=strlen(pattern); get_nextval(pattern); printf("Test case #%d\n",j++); for(i=2;i<=len;i++) { if(i%(i-next[i])==0 && i/(i-next[i])>1) printf("%d %d\n",i,i/(i-next[i])); } printf("\n"); } return 0; }
http://poj.org/problem?id=2752
大意:
给出一个字符串A,求A有多少个前缀同时也是后缀,从小到大输出这些前缀的长度。
分析:KMP
对于长度为len的字符串,由next的定义知:
A[0]A[1]...A[next[len]-1]=A[len-next[len]]...A[len-1]此时A[0]A[1]...A[next[len]-1]为一个符合条件的前缀
有A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1] = A[len-next[next[len] - next[next[len]]]...A[next[len]-1],故A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1]也是一个符合条件的前缀
故从len=>next[len]=>next[next[len]] ....=>直到某个next[]为0均为合法答案,注意当首位单词相同时,也为答案。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<vector> using namespace std; char pattern[400002]; int next[400002]; /* kmp算法,需要首先求出模式串的next函数值 next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度 */ void get_nextval(const char* pattern) { int i=0,j=-1; next[0]= -1; while(pattern[i] != '\0') { if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] ) { ++i; ++j; next[i]=j; } else j=next[j]; } }//get_nextval int main(void) { int i,len,n; vector<int>ans; while(scanf("%s",pattern)!=EOF) { ans.clear(); len=strlen(pattern); get_nextval(pattern); n=len; while(n) { ans.push_back(n); n=next ; } if(pattern[0]==pattern[n-1]) //首部、尾部字符相同 ans.push_back(1); i=ans.size()-1; for(;i>0;i--) printf("%d ",ans[i]); printf("%d\n",ans[0]); } return 0; }
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