统计数字问题

在王晓东编著的《算法设计与实验题解》中看到的这个问题，问题描述如下：

一本书的页码从自然数1开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如第6页用6表示而不是06或006。数字统计问题要求对给定书的总页码，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0,1,2,3,.....9。

例如：输入11，输出：1,4,1,1,1,1,1,1,1,1

在/article/7682557.html博客中看到博主进行了很好地分析！！！

现黏贴部分如下：

这个题目有个最容易想到的n*log10(n)的算法。这是自己写的复杂度为O(n*log10(n))的代码：

void statNumber(int n) {
int i, t;
int count[10] = {0};

for(i = 1; i <= n; i++) {
t = i;
while(t) {
count[t%10]++;
t/=10;
}
}
for(i = 0; i < 10; i++) {
printf("%d/n", count[i]);
}
}

仔细考虑m个n位十进制数的特点，在一个n位十进制数的由低到高的第i个数位上，总是连续出现10^i个0，然后是10^i个1……一直到10^i个9，9之后又是连续的10^i个0，这样循环出现。找到这个规律，就可以在常数时间内算出第i个数位上每个数字出现的次数。而在第i个数位上，最前面的10^i个0是前导0，应该把它们减掉。
这样，可以只分析给定的输入整数n的每个数位，从面可以得到一个log10(n)的算法，代码如下：

void statNumber(int n) {
int m, i, j, k, t, x, len = log10(n);
char d[16];
int pow10[12] = {1}, count[10] = {0};

for(i = 1; i < 12; i++) {
pow10[i] = pow10[i-1] * 10;
}
sprintf(d, "%d", n);
m = n+1;
for(i = 0; i <= len; i++) {
x = d[i] - '0';
t = (m-1) / pow10[len-i];

count[x] += m - t * pow10[len-i];

t /= 10;
j = 0;
while(j <= x-1) {
count[j] += (t + 1) * pow10[len-i];
j++;
}
while(j < 10) {
count[j] += t * pow10[len - i];
j++;
}
count[0] -= pow10[len-i]; /* 第i个数位上前10^i个0是无意义的 */
}
for(j = 0; j < 10; j++) {
printf("%d/n", count[j]);
}
}

通过对随机生成的测试数据的比较，可以验证第二段代码是正确的。

对两段代码做效率测试，第一次随机产生20万个整数，结果在我的电脑上，第二段代码执行1.744秒。第一段代码等我吃完钣回来看还是没反应，就强行关了它。

第二次产生了1000个整数，再次测试，结果第一段代码在我的电脑上执行的时间是

10.1440秒，而第二段代码的执行时间是0.0800秒。

其原因是第一段代码时间复杂度为O(n*log10(n))，对m个输入整数进行计算，则需要的时间为 1*log10(1) + 2*log10(2) + ... + m*log10(m)，　当n > 10时，有

n*log10(n) > n，所以上式的下界为11+12+....+m，其渐近界为m*m。对于20万个测试数据，其运行时间的下界就是4*10^10。

同样可得第二段代码对于n个输入数据的运行时间界是n*log10(n)的。

上面的代码中有个pow10数组用来记录10^i，但10^10左右就已经超过了2^32，但是题目给定的输入整数的范围在10^9以内，所以没有影响。

原著中给出的分析如下：

考察由0,1,2...9组成的所有n位数。从n个0到n个9共有10^n个n位数。在这10^n个n位数中，0,1,2.....9第个数字使用次数相同，设为f(n)。f(n)满足如下递推式：

n>1:

f(n) = 10f(n-1)+10^(n-1)

n = 1:

f(n) =1

由此可知，f(n) = n*10^(n-1)。

据此，可从高位向低位进行统计，再减去多余的0的个数即可。

著者的思想说的更清楚些应该是这样：
对于一个m位整数，我们可以把0到n之间的n+1个整数从小到大这样来排列：
000......0
.............
199......9
200......0
299......9
.........
这样一直排到自然数n。对于从0到199......9这个区间来说，抛去最高位的数字不看，其低m-1位恰好
就是m-1个0到m-1个9共10^(m-1)个数。利用原著中的递推公式，在这个区间里，每个数字出现的次数
（不包括最高位数字）为(m-1)*10^(m-2)。假设n的最高位数字是x，那么在n之间上述所说的区间共有
x个。那么每个数字出现的次数x倍就可以统计完这些区间。再看最高位数字的情况，显然0到x-1这些
数字在最高位上再现的次数为10^(m-1)，因为一个区间长度为10^(m-1)。而x在最高位上出现次数就是
n%10^(m-1)+1了。接下来对n%10^(m-1)，即n去掉最高位后的那个数字再继续重复上面的方法。直到
个位，就可以完成题目要求了。
比如，对于一个数字34567，我们可以这样来计算从1到34567之间所有数字中每个数字出现的次数：

从0到9999，这个区间的每个数字的出现次数可以使用原著中给出的递推公式，即每个数字出现4000次。
从10000到19999，中间除去万位的1不算，又是一个从0000到9999的排列，这样的话，从0到34567之间
的这样的区间共有3个。所以从00000到29999之间除万位外每个数字出现次数为3*4000次。然后再统计
万位数字，每个区间长度为10000，所以0,1,2在万位上各出现10000次。而3则出现4567+1=4568次。
之后，抛掉万位数字，对于4567，再使用上面的方法计算，一直计算到个位即可。
下面是自己的实现代码：

void statNumber_iterative(int n) {

int len, i, k, h, m;

int count[10] = {0};

int pow10[12] = {1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000};

char d[16];

len = log10(n); /* len表示当前数字的位权 */

m = len;

sprintf(d, "%d", n);

k = 0; /* k记录当前最高位数字在d数组中的下标 */

h = d[k] - '0'; /* h表示当前最高位的数字 */

n %= pow10[len]; /* 去掉n的最高位 */

while(len > 0) {

if(h == 0) {

count[0] += n + 1;

h = d[++k] - '0';

--len;

n %= pow10[len];

continue;

}

for(i = 0; i < 10; i++) {

count[i] += h * len * pow10[len-1];

}

for(i = 0; i < h; i++) {

count[i] += pow10[len];

}

count[h] += n + 1;

--len;

h = d[++k] - '0';

n %= pow10[len];

}

for(i = 0; i <= h; i++) {

count[i] += 1;

}

/* 减去前导0的个数 */

for(i = 0; i <= m; i++) {

count[0] -= pow10[i];

}

for(i = 0; i < 10; i++) {

printf("%d/n", count[i]);

}

}

然后，根据他的思路，我自己也写了一个程序:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int a[10]={0},pow10[10];  //数组a存放各位数字的出现次数，pow10数组存放10的阶

void fun(int n)
{
int i,index,remainer,headNum,deep=log10(n)+1;  //index是d数组下标，remainer为除最高位的余数，headNum为首个数字，
//deep为n的位数
char d[12];  //d数组把数n当成字符串存放
for (i=1;i<11;i++)   //算阶数
{
pow10[i]=pow(10,i-1);
}

sprintf(d,"%d",n);  //数n存放到d数组中
headNum=d[0]-'0';   //取首个数字

for (i=0;i<10;i++)  //首先对除去最高位数后的剩余数进行计数
{
a[i]+=headNum*(deep-1)*pow(10,deep-2);
}

remainer=n%(int)pow(10,deep-1);
index=0;
while (index<deep)     //接着处理最高位往下的数
{
headNum=d[index]-'0';  //取最高位
remainer=n%(int)pow(10,deep-1-index);  //剩下余数
for (i=0;i<headNum;i++)       //0到最高位前一位计数
{
a[i]+=(int)pow(10,deep-1-index);
}
a[headNum]+=remainer+1;       //对最高位数计数
index++;
}

for (i=1;i<=deep;i++)  //取出多余的0
{
a[0]-=pow10[i];
}

printf("The answer is : \n");  //输出
for (i=0;i<10;i++)
{
printf("%d  ",a[i]);
}
printf("\n");

}

int main()
{
int n;
printf("Please input a number:  ");
scanf("%d",&n);
fun(n);

return 0;
}

但是这个程序是错误的！！

修改一下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>

int a[10],pow10[10];  //数组a存放各位数字的出现次数，pow10数组存放10的阶

void fun(int n)
{
int i,index,remainer,headNum,deep=log10(n)+1;  //index是d数组下标，remainer为除最高位的余数，headNum为首个数字，
//deep为n的位数
char d[12];  //d数组把数n当成字符串存放
for (i=1;i<11;i++)   //算阶数
{
pow10[i]=pow(10,i-1);
}

memset(a,0,sizeof(a));
sprintf(d,"%d",n);  //数n存放到d数组中
headNum=d[0]-'0';   //取首个数字
remainer=n%(int)pow(10,deep-1);
index=0;

while (index<deep)     //处理最高位往下的数
{
headNum=d[index]-'0';  //取最高位
remainer=n%(int)pow(10,deep-1-index);  //剩下余数

for (i=0;i<10;i++)  //对除去最高位数后的剩余数进行计数
{
a[i]+=headNum*(deep-1-index)*pow(10,deep-2-index);
}

for (i=0;i<headNum;i++)       //0到最高位前一位计数
{
a[i]+=(int)pow(10,deep-1-index);
}
a[headNum]+=remainer+1;       //对最高位数计数
index++;
}

for (i=1;i<=deep;i++)  //取出多余的0
{
a[0]-=pow10[i];
}

printf("The answer is : \n");  //输出
for (i=0;i<10;i++)
{
printf("%d  ",a[i]);
}
printf("\n");

}

int main()
{
int n;
while (printf("Please input a number:  "),scanf("%d",&n)!=EOF)
{
fun(n);
}

return 0;
}