成长轨迹58 【ACM算法之路 百炼poj.grids.cn】【递归】【1664:放苹果】

题目http://poj.grids.cn/practice/1664

真心是一道很经典很经典的题目，还是单独列出来

离散数学学过划分，但是那是集合划分，这道题是整数划分。
整数划分的思想如下：
整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式，且这组数中的最大加数不大于n。
如6的整数划分为
6
5 + 1
4 + 2, 4 + 1 + 1
3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

共11种。
【dfs代码】

View Code

#include"iostream"
using namespace std;
int count=0;
int M,m,n;
void DFS(int k, int s,int t){
if( s==n ){
if(t==m) count++;
return ;
}
int i;
for(i=k;i>=0; i--){
if( t + i <= m )
{
DFS(i,  s+1, t+i);
}
else
{
continue;
}
}
}

int main()
{
int i;
scanf("%d",&M);
while(M--)
{
count=0;
scanf("%d %d",&m, &n);
for(i=m;i>=0;i--)
{
DFS(i,1,i);
}
printf("%d\n",count);
}
return 0;
}

下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数。

递归函数的声明为 int deal(int m, int n);其中m为要划分的正整数，n是划分中的最大加数(当n > m时，最大加数为m)，
1 当m = 0 或 n = 1时，deal的值为1，可根据上例看出，只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
可用程序表示为if(n == 1 || m == 0) return 1;

2 下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系
(1) n > m
在整数划分中实际上最大加数不能大于m，因此在这种情况可以等价为deal(m, m);
可用程序表示为if(n > m) return deal(m, m);
(2) n < m 这是最一般的情况，在划分的大多数时都是这种情况。
从上例可以看出，设n = 4，那deal(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。
即 deal(6,4) = deal(6,3) + deal(2,4)
因此，此时deal(n, m)可表示为deal(m, n - 1) + deal(m - n, n)
(3) m = n
这种情况可用递归表示为deal(m, n - 1) + 1，从以上例子中可以看出，就是最大加数为6和小于6的划分之和
用程序表示为if(m == n) return (deal(m, n - 1) + 1);
我们发现其实也可以满足上面（2）所推导的公式

按照整数划分的思想，将一个整数划分为若干(x<=m) 整数，按由大到小逐级递减的顺序排列, 这样保证了不会出现 5，1，1 和 1，5，1 这种相同的情况，根据这样的思路来建立一个递归关系。

【ac代码】

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int  deal(int m,int n)
{
if(m==0||n==1)
return 1;
else if(n>m) return deal(m,m);
else
return deal(m,n-1)+deal(m-n,n);
}

int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
for(int i=0;i<t;i++)
{
int m,n;
scanf("%d %d",&m,&n);
printf("%d\n",deal(m,n));
}
return 0;
}