计算字符串的相似度（编辑距离）

题目：

对于一个字符串a可以通过增加一个字符、删除一个字符、修改一个字符，将字符串a变成字符串b，例如

a= abcddefg

b = abcefg

可以通过a字符串删除两个dd得到b字符串，也可以通过b字符串增加dd编程a字符串，从上面的分析可以知道，增加和删除的代价必须是相同的，这样a字符串变成b字符串的代价和b字符串变成a字符串的代价才会是相同的，否这可能产生代价不对称的情况。其实我们可以设定修改和增加（删除）的代价是不同的，当然也可以认为他们是一样的。

实际的计算过程可以如下进行：

1)比较a[i]和b[j];

2)如果a[i] == b[j]，那么distance = EditDistance(a[i + i], b[j + 1]) + 0;

3)如果a[i] != b[j]，那么可以经过如下操作使得a[i]等于b[j]

a) a[i]前增加b[j]，那么distance = EditDistance(a[i], b[j + 1] + insert_cost

b)b[j]前增加a[i]，那么distance = EditDistance(a[i + 1], b[j]) + insert_cost

c)删除a[i]，那么distance = EditDistance(a[i + 1], b[j]) + delete_cost

d)删除b[j]，那么distance = EditDistance(a[i], b[j + 1] + delete_cost

e)a[i]变成b[j]，那么distance = EditDistance(a[i + 1], b[j + 1] + replace_cost

f)b[j]变成a[i]，那么distance = EditDistance(a[i + 1], b[j + 1] + replace_cost

如果insert_cost == delete_cost，那么a添加字符变成b和b删除字符变成a是等价的，a[i]变成b[j]与b[j]变成a[i]也是等价的，因此实际需要考虑的代价就是下面3种情况：

i) distance = EditDistance(a[i], b[j + 1] + insert_cost(或delete_cost)

ii) distance = EditDistance(a[i + 1], b[j] + insert_cost(或delete_cost)

iii)distance = EditDistance(a[i + 1], b[j + 1] + replace_cost

如果我们回顾一下最长公共子序列问题（LCS），就会发现这个问题和LCS问题几乎是等价的。因为可以这样理解，找出a和b的LCS，保持LCS对齐不变，增加删除一些字符就完成了变换，而这样的代价应该是最小的（猜测的，没有证明）

这样一个问题，我们可以使用递归来解决。

当然的解决方案是用动态规划的方法解决，采用动态规划解决时，我们假设前面字符串都已经变换相同了，那么在a[i]变成b[j]的过程中需要对比如下代价：

1)如果a[i] == b[j]，那么前面的状态可能是a[i - 1] b[j - 1]或者 a[i - 1] b[j]或者a[i] b[j - 1]，我们要比较这些可能的转换过程中哪个代价更小；

2)如果a[i] != b[j]，那么：

i)a[i] b[j]可能从a[i - 1] b[j - 1]状态通过replace a[i] to a[j] + replace的代价来实现；

ii)a[i] b[j]可能从a[i ] b[j - 1]状态通过为a[i]前面添加一个b[j -1] + insert的代价来实现；

iii)a[i] b[j]可能从a[i - 1] b[j]状态通过删除a[i - 1] + delete的代价来实现；

而这些代价就通过一个向量cost向量来存储。

程序代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string>

int Min(int a, int b, int c) {
int tmp = a > b ? b : a;
tmp = tmp > c ? c : tmp;
return tmp;
}
int EditDistance(const std::string& a, int a_offset, const std::string& b, int b_offset) {
if (a_offset == a.size() && b_offset < b.size()) {
return EditDistance(a, a_offset, b, b_offset + 1) + 1 ;
} else if (b_offset == b.size() && a_offset < a.size()) {
return EditDistance(a, a_offset + 1, b, b_offset) + 1;
} else if (a_offset == a.size() && b_offset == b.size()) {
return 0;
} else {
if (a[a_offset] == b[b_offset]) {
return EditDistance(a, a_offset + 1, b, b_offset + 1);
} else {
int distance1 = EditDistance(a, a_offset + 1, b, b_offset) + 1;
int distance2 = EditDistance(a, a_offset, b, b_offset + 1) + 1;
int distance3 = EditDistance(a, a_offset + 1, b, b_offset + 1) + 1;
return Min(distance1, distance2, distance3);
}
}
}
int EditDistance_DP(const std::string& a, const std::string& b) {
int** cost = new int*[a.size() + 1];
for (int i = 0; i < a.size() + 1; ++i) {
cost[i] = new int[b.size() + 1];
}
for (int i = 0; i < a.size() + 1; ++i) {
for (int j = 0; j < b.size() + 1; ++j) {
cost[i][j] = 0;
}
}
for (int i = 0; i < a.size(); ++i) {
for (int j = 0; j < b.size(); ++j) {
if (a[i] == b[j]) {
cost[i + 1][j + 1] = Min(cost[i][j], cost[i][j + 1], cost[i + 1][j]);
} else {
cost[i + 1][j + 1] = Min(cost[i][j] + 1, cost[i][j + 1] + 1, cost[i + 1][j] + 1);
}
}
}
for (int i = 0; i <= a.size(); ++i) {
for (int j = 0; j <= b.size(); ++j) {
printf("%d  ", cost[i][j]);
}
printf("\n");
}
int distance = cost[a.size()][b.size()];
for (int i = 0; i < a.size() + 1; ++i) {
delete[] cost[i];
}
delete[] cost;
return distance;
}
int main(int argc, char** argv) {
std::string a = "adefk";
std::string b = "bdefg";
printf("edit distance = %d\n", EditDistance(a, 0, b, 0));
printf("edit distance = %d\n", EditDistance_DP(a, b));
}

参考文献：

编程之美 3.3