高斯混合模型（GMM）参数优化及实现

高斯混合模型（GMM）参数优化及实现

1 高斯混合模型概述

高斯密度函数估计是一种参数化模型。有单高斯模型（Single Gaussian Model, SGM）和高斯混合模型（Gaussian
mixture model，GMM）两类。类似于聚类，根据高斯概率密度函数（PDF，见公式1）参数的不同，每一个高斯模型可以看作一种类别，输入一个样本<
xmlnamespace prefix ="v" ns ="urn:schemas-microsoft-com:vml" /> ，即可通过PDF计算其值，然后通过一个阈值来判断该样本是否属于高斯模型。很明显，SGM适合于仅有两类别问题的划分，而GMM由于具有多个模型，划分更为精细，适用于多类别的划分，可以应用于复杂对象建模。

下面以视频前景分割应用场景为例，说明SGM与GMM在应用上的优劣比较：

l SGM需要进行初始化，如在进行视频背景分割时，这意味着如果人体在前几帧就出现在摄像头前，人体将会被初始化为背景，而使模型无法使用；

l SGM只能进行微小性渐变，而不可突变。如户外亮度随时间的渐变是可以适应的，如果在明亮的室内突然关灯，单高斯模型就会将整个室内全部判断为前景。又如，若在监控范围内开了一辆车，并在摄像头下开始停留。由于与模型无法匹配，车会一直被视为前景。当车过很长时间离去时，由于车停留点的亮度发生了很大的变化，因此已经无法与先前的背景模型相匹配；

l SGM无法适应背景有多个状态，如窗帘，风吹的树叶。单高斯模型无法表示这种情况，而使得前背景检测混乱，而GMM能够很好地描述不同状态；

l 相对于单高斯模型的自适应变化，混合高斯模型的自适应变化要健壮的多。它能解决单高斯模型很多不能解决的问题。如无法解决同一样本点的多种状态，无法进行模型状态转化等。

2 理论说明部分

因博客中无法编辑公式，故详细文档见这里。代码如下：

3 源码

3.1 单高斯模型

下面代码实现了SGM，并实现了人脸肤色检测。其中图像处理、矩阵运算采用了openCV库函数

/*****************************************************************************
Single Gaussian Model for skin color extraction
Param:
img -- input image to extract the face region
skinImg -- result
*****************************************************************************/
void CSkinColor::RunSGM(IplImage *img, IplImage **skinImg)
{
if (img == NULL) return -1;
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 以下参数一组(117.4361,156.5599)来自源码 light2，与文章《王航宇:基于 YCbCr 高斯肤色模型的
// 人脸检测技术研究》相同，另一组来自源码“肤色检测正式版”（103.0056, 140.1309）
double M[]={103.0056, 140.1309}/*{117.4361,156.5599}*/;//M 为肤色在 YCbCr 颜色空间的样本均值(Cb, Cr)，经验值
double C[2][2]={{160.1301,12.1430},//C 为肤色相似度模型的协方差矩阵，同上为经验值
{12.1430,299.4574}};// 注：因为运算仅需要该矩阵的逆矩阵值，故该值没有使用，仅作参考
double invC[2][2]={0.0077 ,-0.0041,-0.0041 ,0.0047
};//Ct 为C的逆矩阵值，由matlab计算而得
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
IplImage* pImg = img;
double CrMean=0,CbMean=0,YMean=0;
// 1 颜色转换：BGR->YCrCb
IplImage*imgYCrCb=cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U,3);// YCrCb图像
cvCvtColor(pImg, imgYCrCb, CV_BGR2YCrCb);// 第0,1,2层分别为Y,Cr,Cb

IplImage *imgY = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U,1);// YCrCb图像
IplImage *imgCr = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U,1);// YCrCb图像
IplImage *imgCb = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U,1);// YCrCb图像
IplImage *imgY32 = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_32F,1);// YCrCb图像
IplImage *imgCr32 = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_32F,1);// YCrCb图像
IplImage *imgCb32 = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_32F,1);// YCrCb图像
cvSplit(imgYCrCb, imgY, imgCr, imgCb, NULL);
cvConvert(imgY, imgY32);
cvConvert(imgCr, imgCr32);
cvConvert(imgCb, imgCb32);
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 2 根据Sigle Gaussian Model计算颜色模型
IplImage *PCbCr=cvCreateImage(cvGetSize(pImg), IPL_DEPTH_32F, 1);//YCrCb颜色模型
IplImage *tempA=cvCreateImage(cvGetSize(pImg), IPL_DEPTH_32F, 1);//YCrCb颜色模型
IplImage *tempB=cvCreateImage(cvGetSize(pImg), IPL_DEPTH_32F, 1);//YCrCb颜色模型
cvSubS(imgCb32, cvScalar(M[0]), imgCb32);// x-m
cvSubS(imgCr32, cvScalar(M[1]), imgCr32);// x-m
cvAddWeighted(imgCb32, invC[0][0], imgCr32, invC[1][0], 0, tempA);
cvAddWeighted(imgCb32, invC[0][1], imgCr32, invC[1][1], 0, tempB);
cvMul(imgCb32, tempA, tempA, -0.5);
cvMul(imgCr32, tempB, tempB, -0.5);
cvAdd(tempA, tempB, PCbCr);
cvExp(PCbCr, PCbCr);
double max_val=0,min_val=0;
cvMinMaxLoc(PCbCr,&min_val,&max_val);
IplImage *proImg=cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U, 1);//YCrCb颜色模型
double a=255/(max_val);
cvConvertScaleAbs(PCbCr,proImg,a,0);
m_proimg = cvCloneImage(proImg);

if ((*skinImg)!=NULL) cvReleaseImage(skinImg);
*skinImg = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),IPL_DEPTH_8U, 1);//肤色结果
// 释放内存
cvReleaseImage(&proImg);
cvReleaseImage(&imgYCrCb);
cvReleaseImage(&imgY);
cvReleaseImage(&imgCr);
cvReleaseImage(&imgCb);
cvReleaseImage(&imgY32);
cvReleaseImage(&imgCr32);
cvReleaseImage(&imgCb32);
cvReleaseImage(&PCbCr);
cvReleaseImage(&tempA);
cvReleaseImage(&tempB);
}

3.1高斯混合模型

（1）以下matlab代码实现了高斯混合模型：

function [Alpha, Mu, Sigma] = GMM_EM(Data, Alpha0, Mu0, Sigma0)
%% EM 迭代停止条件
loglik_threshold = 1e-10;
%% 初始化参数
[dim, N] = size(Data);
M = size(Mu0,2);
loglik_old = -realmax;
nbStep = 0;

Mu = Mu0;
Sigma = Sigma0;
Alpha = Alpha0;
Epsilon = 0.0001;
while (nbStep < 1200)
nbStep = nbStep+1;
%% E-步骤 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for i=1:M
% PDF of each point
Pxi(:,i) = GaussPDF(Data, Mu(:,i), Sigma(:,:,i));
end

% 计算后验概率 beta(i|x)
Pix_tmp = repmat(Alpha,[N 1]).*Pxi;
Pix = Pix_tmp ./ (repmat(sum(Pix_tmp,2),[1 M])+realmin);
Beta = sum(Pix);
%% M-步骤 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for i=1:M
% 更新权值
Alpha(i) = Beta(i) / N;
% 更新均值
Mu(:,i) = Data*Pix(:,i) / Beta(i);
% 更新方差
Data_tmp1 = Data - repmat(Mu(:,i),1,N);
Sigma(:,:,i) = (repmat(Pix(:,i)',dim, 1) .* Data_tmp1*Data_tmp1') / Beta(i);
%% Add a tiny variance to avoid numerical instability
Sigma(:,:,i) = Sigma(:,:,i) + 1E-5.*diag(ones(dim,1));
end

%  %% Stopping criterion 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  for i=1:M
%Compute the new probability p(x|i)
%    Pxi(:,i) = GaussPDF(Data, Mu(:,i), Sigma(i));
%  end
%Compute the log likelihood
%  F = Pxi*Alpha';
%  F(find(F<realmin)) = realmin;
%  loglik = mean(log(F));
%Stop the process depending on the increase of the log likelihood
%  if abs((loglik/loglik_old)-1) < loglik_threshold
%    break;
%  end
%  loglik_old = loglik;

%% Stopping criterion 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
v = [sum(abs(Mu - Mu0)), abs(Alpha - Alpha0)];
s = abs(Sigma-Sigma0);
v2 = 0;
for i=1:M
v2 = v2 + det(s(:,:,i));
end

if ((sum(v) + v2) < Epsilon)
break;
end
Mu0 = Mu;
Sigma0 = Sigma;
Alpha0 = Alpha;
end
nbStep

（2）以下代码根据高斯分布函数计算每组数据的概率密度，被GMM_EM函数所调用

function prob = GaussPDF(Data, Mu, Sigma)
%
% 根据高斯分布函数计算每组数据的概率密度 Probability Density Function (PDF)
% 输入 -----------------------------------------------------------------
%   o Data:  D x N ，N个D维数据
%   o Mu:    D x 1 ，M个Gauss模型的中心初始值
%   o Sigma: M x M ，每个Gauss模型的方差（假设每个方差矩阵都是对角阵，
%                                   即一个数和单位矩阵的乘积）
% Outputs ----------------------------------------------------------------
%   o prob:  1 x N array representing the probabilities for the
%            N datapoints.
[dim,N] = size(Data);
Data = Data' - repmat(Mu',N,1);
prob = sum((Data*inv(Sigma)).*Data, 2);
prob = exp(-0.5*prob) / sqrt((2*pi)^dim * (abs(det(Sigma))+realmin));

（3）以下是演示代码demo1.m

% 高斯混合模型参数估计示例 （基于 EM 算法）
% 2010 年 11 月 9 日
[data, mu, var, weight] = CreateSample(M, dim, N);  // 生成测试数据
[Alpha, Mu, Sigma] = GMM_EM(Data, Priors, Mu, Sigma)

（4）以下是测试数据生成函数，为demo1.m所调用：

function [data, mu, var, weight] = CreateSample(M, dim, N)
% 生成实验样本集，由M组正态分布的数据构成
% % GMM模型的原理就是仅根据数据估计参数：每组正态分布的均值、方差，
% 以及每个正态分布函数在GMM的权重alpha。
% 在本函数中，这些参数均为随机生成，
%
% 输入
%   M    : 高斯函数个数
%   dim  : 数据维数
%   N    : 数据总个数
% 返回值
%   data : dim-by-N, 每列为一个数据
%   miu  : dim-by-M, 每组样本的均值，由本函数随机生成
%   var  : 1-by-M, 均方差，由本函数随机生成
%   weight: 1-by-M, 每组的权值，由本函数随机生成
% ----------------------------------------------------
%
% 随机生成不同组的方差、均值及权值
weight = rand(1,M);
weight = weight / norm(weight, 1); % 归一化，保证总合为1
var = double(mod(int16(rand(1,M)*100),10) + 1);  % 均方差，取1~10之间，采用对角矩阵
mu = double(round(randn(dim,M)*100));            % 均值，可以有负数

for(i = 1: M)
if (i ~= M)
n(i) = floor(N*weight(i));
else
n(i) = N - sum(n);
end
end

% 以标准高斯分布生成样本值，并平移到各组相应均值和方差
start = 0;
for (i=1:M)
X = randn(dim, n(i));
X = X.* var(i) + repmat(mu(:,i),1,n(i));
data(:,(start+1):start+n(i)) = X;
start = start + n(i);
end
save('d:\data.mat', 'data');

摘自：http://wolfsky2002.blog.163.com/blog/static/10343152010112610221540/