最大公约数与欧几里德算法

记a、b的最大公约数为gcd(a,b)。

这里对于最大公约数的讨论仅限于非负整数，因为显然有gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)。

计算最大公约数的Euclid算法基于下面定理：

【GCD递归定理】对于任意非负整数a和任意正整数b，gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

Euclid算法最简单的递归版本（C语言版）如下：

int Euclid(int a,int b)
{
if(b)return Euclid(b,b%a);else return a;
}

迭代版本（C语言版）如下：

int Euclid(int a,int b)
{
while(a=a%b)a^=b^=a^=b;
return b;
}

Euclid算法运行时间分析

【引理】如果a>b≥1且Euclid(a,b)执行了k≥1次递归调用，则a≥Fk+2,b≥Fk+1。（其中Fk为Fabonacci的第k项）

【Lamé定理】对于任意k≥1，若a>b≥1且b<Fk+1则Euclid(a,b)的递归调用次数少于k次。

O(log b)是该算法一个粗略的界，事实上当b确定后，Euclid(a,b)的平均迭代次数近似为（12ln2/π2）×lnb。

除了上述的Euclid算法外还有一种不用求余数运算的的二进制最大公约数算法。