0/1背包问题详解

0/1背包问题

1. 问题描述

给定一个载重量为m，n个物品，其重量为wi，价值为vi，1<=i<=n，要求:把物品装入背包，并使包内物品价值最大

2. 问题分析

在0/1背包问题中，物体或者被装入背包，或者不被装入背包，只有两种选择。

循环变量i，j意义：前i个物品能够装入载重量为j的背包中

(n+1)*(m+1)数组value意义：value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值

若w[i]>j，第i个物品不装入背包

否则，若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j]，则记录当前最大价值（替换为第i个物品装入背包后的价值）

计算最大价值的动态规划算法如下：

//计算

for(i=1;i<row;i++)

{

for(j=1;j<col;j++)

{

//w[i]>j,第i个物品不装入背包

value[i][j]=value[i-1][j];

//w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值

int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];

if(w[i]<=j && temp>value[i][j])

value[i][j]=temp;

}

}

即该段程序完成以下n个阶段：

1：只装入1个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

2：装入2个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

。。。

n：以此类推，装入n个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

3. 问题求解

确定装入背包的具体物品，从value
[m]向前逆推：

若value
[m]>value[n-1][m]，则第n个物品被装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m-w
的背包中

否则，第n个物品没有装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m的背包中

以此类推，直到确定第一个物品是否被装入背包为止。逆推代码如下：

//逆推求装入的物品

j=m;

for(i=row-1;i>0;i--)

{

if(value[i][j]>value[i-1][j])

{

c[i]=1;

j-=w[i];

}

}

4. 代码如下

输入数据及输出数据均在文件中。

输入数据格式：

n m

w1 w2 ... wn

v1 v2 ... vn

输出数据格式：

maxValue

i count //i表示物品编号，count表示该物品被选中次数

...

/************************************************************************

* 0/1背包问题求解 (visual studio 2005)

* 给定一个载重量为m,及n个物品,其重量为wi,价值为vi,1<=i<=n

* 要求:把物品装入背包,并使包内物品价值最大

************************************************************************/

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>

#define FILENAMELENGTH 100

class CBeibao

{

public:

int m_nNumber; //物品数量

int m_nMaxWeight; //最大载重量

int *m_pWeight; //每个物品的重量

int *m_pValue; //每个物品的价值

int *m_pCount; //每个物品被选中的次数

int m_nMaxValue; //最大价值

public:

CBeibao(const char *filename);

~CBeibao();

int GetMaxValue();

int GetMaxValue(int n,int m,int *w,int *v,int *c);

void Display(int nMaxValue);

void Display(int nMaxValue,const char *filename);

};

//读入数据

CBeibao::CBeibao(const char *filename)

{

FILE *fp=fopen(filename,"r");

if(fp==NULL)

{

printf("can not open file!");

return; //exit(0);

}

//读入物品数量和最大载重量

fscanf(fp,"%d%d",&m_nNumber,&m_nMaxWeight);

m_pWeight=new int[m_nNumber+1];

m_pValue=new int[m_nNumber+1];

m_pWeight[0]=0;

//读入每个物品的重量

for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)

fscanf(fp,"%d",m_pWeight+i);

m_pValue[0]=0;

//读入每个物品的价值

for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)

fscanf(fp,"%d",m_pValue+i);

//初始化每个物品被选中次数为0

m_pCount=new int[m_nNumber+1];

for(int i=0;i<=m_nNumber;i++)

m_pCount[i]=0;

fclose(fp);

}

CBeibao::~CBeibao()

{

delete[] m_pWeight;

m_pWeight=NULL;

delete[] m_pValue;

m_pValue=NULL;

delete[] m_pCount;

m_pCount=NULL;

}

/************************************************************************

* 动态规划求出满足最大载重量的最大价值

* 参数说明：n:物品个数

* m:背包载重量

* w:重量数组

* v:价值数组

* c:是否被选中数组

* 返回值：最大价值

************************************************************************/

int CBeibao::GetMaxValue(int n,int m,int *w,int *v,int *c)

{

int row=n+1;

int col=m+1;

int i,j; //循环变量:前i个物品能够装入载重量为j的背包中

//value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值

int **value=new int*[row];

for(i=0;i<row;i++)

value[i]=new int[col];

//初始化第0行

for(j=0;j<col;j++)

value[0][j]=0;

//初始化第0列

for(i=0;i<row;i++)

value[i][0]=0;

//计算

for(i=1;i<row;i++)

{

for(j=1;j<col;j++)

{

//w[i]>j,第i个物品不装入背包

value[i][j]=value[i-1][j];

//w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值

int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];

if(w[i]<=j && temp>value[i][j])

value[i][j]=temp;

}

}

//逆推求装入的物品

j=m;

for(i=row-1;i>0;i--)

{

if(value[i][j]>value[i-1][j])

{

c[i]=1;

j-=w[i];

}

}

//记录最大价值

int nMaxVlaue=value[row-1][col-1];

//释放该二维数组

for(i=0;i<row;i++)

{

delete [col]value[i];

value[i]=NULL;

}

delete[] value;

value=NULL;

return nMaxVlaue;

}

int CBeibao::GetMaxValue()

{

int nValue=GetMaxValue(m_nNumber,m_nMaxWeight,m_pWeight,m_pValue,m_pCount);

m_nMaxValue=nValue;

return nValue;

}

//显示结果

void CBeibao::Display(int nMaxValue)

{

printf(" %d ",nMaxValue);

for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)

{

if(m_pCount[i])

printf(" %d %d ",i,m_pCount[i]);

}

printf(" ");

}

void CBeibao::Display(int nMaxValue,const char *filename)

{

FILE *fp=fopen(filename,"w");

if(fp==NULL)

{

printf("can not write file!");

return; //exit(0);

}

fprintf(fp,"%d ",nMaxValue);

for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)

{

if(m_pCount[i])

fprintf(fp,"%d %d ",i,m_pCount[i]);

}

fclose(fp);

}

//显示菜单

void show_menu()

{

printf("--------------------------------------------- ");

printf("input command to test the program ");

printf(" i or I : input filename to test ");

printf(" q or Q : quit ");

printf("--------------------------------------------- ");

printf("$ input command >");

}

void main()

{

char sinput[10];

char sfilename[FILENAMELENGTH];

show_menu();

scanf("%s",sinput);

while(stricmp(sinput,"q")!=0)

{

if(stricmp(sinput,"i")==0)

{

printf(" please input a filename:");

scanf("%s",sfilename);

//获取满足最大载重量的最大价值

CBeibao beibao(sfilename);

int nMaxValue=beibao.GetMaxValue();

if(nMaxValue)

{

beibao.Display(nMaxValue);

int nlen=strlen(sfilename);

strcpy(sfilename+nlen-4,"_result.txt");

beibao.Display(nMaxValue,sfilename);

}

else

printf(" error! please check the input data! ");

}

//输入命令

printf("$ input command >");

scanf("%s",sinput);

}

}

5. 运行结果如下

文件中的内容如下：

1. input.txt

4 10

2 3 4 7

1 3 5 9

input_result.txt

12

2 1

4 1

2. input1.txt

5 10

2 2 6 5 4

6 3 5 4 6

input1_result.txt

15

1 1

2 1

5 1

3. input2.txt

5 15

2 6 4 7 9

1 6 5 9 4

input2_result.txt

16

1 1

2 1

4 1

4. input3.txt

10 105

12 16 24 7 29 32 5 43 31 1

11 16 15 9 24 25 3 32 41 7

input3_result.txt

112

1 1

2 1

4 1

6 1

7 1

9 1

10 1