八皇后问题之递归法求解
2011-12-13 19:09
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我在上一篇博文【百度之星】变态的比赛规则中采用递归法解决了一个关于整数划分的问题,这里,再次使用递归法解决一个古老而有趣的问题——八皇后问题。
八皇后问题是十九世纪著名的数学家高斯于1850年提出:在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法。
高斯认为有76种方案,1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解,后来有人用图论的方法解出92种结果,对于八皇后问题,正确答案是有92种摆法。
思路大致是这样的:八个皇后分别分布在八行当中,我们用Start(n)表示第n个皇后的位置选择,程序由Start(1)开始,显然,第一个皇后可以选择第一行的任意一个位置,当其位置选定后,调用函数Fanc(),对接下来的皇后位置选择作出限制,然后调用Start(2),第二个皇后选择一个位置,调用函数Fanc(),对接下来的皇后位置选择作出限制,然后调用Start(3)••••••当第八个皇后选定位置,并调用Start(9)时,说明已经得到一个结果,将其显示。
如果第n个皇后没有可行选择,那就返回上一步,令第n-1个皇后重新选择位置。这就是回溯法的思想,尽量往下走,走不通再回来,选择其它走法。
下面给出完整的C++源代码,代码已在VS2008下编译通过。有任何建议或者疑问,欢迎留言讨论。
欢迎大家访问我的独立技术博客 道合|SameIdeal.com
八皇后问题是十九世纪著名的数学家高斯于1850年提出:在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法。
高斯认为有76种方案,1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解,后来有人用图论的方法解出92种结果,对于八皇后问题,正确答案是有92种摆法。
思路大致是这样的:八个皇后分别分布在八行当中,我们用Start(n)表示第n个皇后的位置选择,程序由Start(1)开始,显然,第一个皇后可以选择第一行的任意一个位置,当其位置选定后,调用函数Fanc(),对接下来的皇后位置选择作出限制,然后调用Start(2),第二个皇后选择一个位置,调用函数Fanc(),对接下来的皇后位置选择作出限制,然后调用Start(3)••••••当第八个皇后选定位置,并调用Start(9)时,说明已经得到一个结果,将其显示。
如果第n个皇后没有可行选择,那就返回上一步,令第n-1个皇后重新选择位置。这就是回溯法的思想,尽量往下走,走不通再回来,选择其它走法。
下面给出完整的C++源代码,代码已在VS2008下编译通过。有任何建议或者疑问,欢迎留言讨论。
#include <iostream> using namespace std; struct Queen //皇后 { int x; int y; }; struct ChessBoard //棋盘 { bool XY[8][8]; }; Queen MyQueen[8]; //共有八个皇后 ChessBoard MyChessBoard[8]; //准备八张棋盘 int N; //表示第N种放法 void print() //将所得结果显示出来 { cout<<"case "<<++N<<" : "; for (int i=0;i<=7;i++) { cout<<MyQueen[i].y+1<<" "; } cout<<endl; } void Func(int x,int y,int step) //在(x,y)位置上放置皇后后,将不可以放置皇后的位置置true { MyChessBoard[step]=MyChessBoard[step-1]; for (int i=0;i<=7;i++) //横向和纵向 { MyChessBoard[step].XY[x][i]=true; MyChessBoard[step].XY[i][y]=true; } int tempx=x; int tempy=y; //保存x,y的初始值 while(x<8&&y<8) //右斜向 { MyChessBoard[step].XY[x][y]=true; x++; y++; } while(tempx<8&&tempy>=0) //左斜向 { MyChessBoard[step].XY[tempx][tempy]=true; tempx++; tempy--; } } void Start(int step) { if(step==9) print(); //得到了一种解法,将其显示。 else { MyQueen[step-1].x=step-1; for (int i=0;i<8;i++) { if(MyChessBoard[step-1].XY[step-1][i]==true) continue; //跳过 MyQueen[step-1].y=i; if(step<8) Func(MyQueen[step-1].x,MyQueen[step-1].y,step); Start(step+1); } } } int main() { Start(1); system("pause"); return 0; }
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