【算法】验证哥德巴赫猜想

问题来源

Timus Online Judge 网站上有这么一道题目：1356. Something Easier。这道题目的输入是一组 2 到 109 之间整数，对于每个输入的整数，要求用最少个数的素数的和来表示。这道题目的时间限制是 1 秒。

问题解答

我们知道著名的哥德巴赫猜想是：

任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数之和

于是我们有以下的 C 语言程序(1356.c)：

// http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1356 #include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <time.h>

// http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem #define PRIME_MAX 10000
#define PRIME_COUNT 1229

typedef unsigned long long U8;
typedef char bool;

const bool true = 1;
const bool false = 0;

// http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes bool* getSieve(int max)
{
static bool sieve[(PRIME_MAX >> 1) + 1];
int i, j, imax = sqrt(max);
for (i = 3; i <= imax; i += 2)
if (!sieve[i >> 1])
for (j = i * i; j <= max; j += i << 1) sieve[j >> 1] = true;
return sieve;
}

int* getPrimes(int max)
{
static int primes[PRIME_COUNT + 1];
bool *sieve = getSieve(max);
int i, j = 0;
for (primes[j++] = 2, i = 3; i <= max; i += 2)
if (!sieve[i >> 1]) primes[j++] = i;
return primes;
}

U8 modMultiply(U8 a, U8 b, U8 m)
{
return a * b % m;
}

U8 modPow(U8 a, U8 b, U8 m)
{
U8 v = 1, p;
for (p = a % m; b > 0; b >>= 1, p = modMultiply(p, p, m))
if (b & 1) v = modMultiply(v, p, m);
return v;
}

bool witness(U8 a, U8 n)
{
U8 n1 = n - 1, s2 = n1 & -n1, x = modPow(a, n1 / s2, n);
if (x == 1 || x == n1) return false;
for (; s2 > 1; s2 >>= 1)
{
x = modMultiply(x, x, n);
if (x == 1) return true;
if (x == n1) return false;
}
return true;
}

U8 random(U8 high)
{
// http://www.cppreference.com/wiki/c/other/rand return (U8)(high * (rand() / (double)RAND_MAX));
}

// http://en.wikipedia.org/wiki/Miller-Rabin_primality_test // n, an integer to be tested for primality
// k, a parameter that determines the accuracy of the test
bool probablyPrime(U8 n, int k)
{
if (n == 2 || n == 3) return 1;
if (n < 2 || n % 2 == 0) return 0;
while (k-- > 0) if (witness(random(n - 3) + 2, n)) return false;
return true;
}

bool isPrime(int n)
{
return probablyPrime(n, 2);
}

int outEven(int primes[], int n)
{
int i, p, q;
for (i = 0; (p = primes[i]) != 0; i++)
if (isPrime(q = n - p))
return printf("%d %d", p, q);
return printf("error:%d", n);
}

int main(void)
{
int t, n, *primes = getPrimes(PRIME_MAX);
srand(time(NULL));
scanf("%d", &t);
while (t-- > 0)
{
scanf("%d", &n);
if (isPrime(n)) printf("%d", n);
else if ((n & 1) == 0) outEven(primes, n);
else if (isPrime(n - 2)) printf("2 %d", n - 2);
else printf("3 "), outEven(primes, n - 3);
puts("");
}
return 0;
}

上述程序分析如下：

根据哥德巴赫猜想，充分大的偶数 n = p + q，这里 p <= q 是素数。我们猜测当 n <= 109 时，p < 104。第 8 行就是定义 p 的最大值。

根据素数定理，我们知道 104 以内的素数有 1229 个。第 9 行就是定义程序中要用到的素数的个数。

第 17 到 26 行的 getSieve 函数用埃拉托斯特尼筛法筛选出素数。

第 28 到 36 行的 getPrimes 函数从筛中取出这些素数。

第 38 到 79 行的一系列函数最终是为了 probablyPrime 函数，用于检测素数。请参见我在2010年7月写的随笔：【算法】米勒-拉宾素性检验。

第 81 到 84 行的 isPrime 函数调用 probablyPrime 函数来检测素数。

第 86 到 93 行的 outEven 函数对大于 2 的偶数验证哥德巴赫猜想，即输出一对素数 p 和 q。

第 95 到 110 行是 main 函数。其中：

第 103 行处理 n 是素数的情况，直接输出该素数(包括素数 2，所以 outEven 函数处理的偶数肯定大于 2)。

第 104 行对大于 2 的偶数输出一对素数(通过调用 outEven 函数，强哥德巴赫猜想)。

第 105 行处理大于 5 的奇数能够分解为 2 和另外一个素数的和的情况(注意不要遗漏这个情形!)。

第 106 行处理大于 5 的奇数的其他情况，首先输出一个 3，然后调用 outEven 函数处理偶数 n - 3 (弱哥德巴赫猜想)。

上述程序在 Timus Online Judge 网站的运行时间是 0.015 秒。

参考资料

Wikipedia: Goldbach's conjecture

Wikipedia: Prime number theorem

Wikipedia: Sieve of Eratosthenes

Wikipedia: Miller–Rabin primality test

【算法】米勒-拉宾素性检验

更多的 ACM 题的解法请参见：Timus 目录。