算法导论5.4-6

将n个球投入n个盒子中，每一次投掷都是独立的，并且每个球落入任何盒子的机会都相等。

(1)空盒子个数的期望

(2)只包含一个球的盒子个数的期望

一开始想到的就是蛮力去解决，看到人家利用指示器变量给的解决方法不得不感叹佩服...

(1)指示器变量Ai表示编号为i的盒子是空盒子

则X=∑Ai,i=1,2,...,n

所以E(X)=E(∑Ai)=∑E(Ai)

将n次实验看成n次伯努利实验

Ai=1时表示盒子i为空的概率：Pi=P(Ai)=(1-1/n)n

E(Ai)=1*Pi=(1-1/n)n

X=∑E(Ai)=n(1-1/n)n=n/e,i=1,2,…,n

(2)指示器变量Ai表示编号为i的盒子是只包含一个球

则X=∑Ai,i=1,2,...,n

所以E(X)=E(∑Ai)=∑E(Ai)=∑P{Ai}

Pi=P(Ai)=n(1/n)(1-1/n)n-1=(1-1/n)n-1

E(Ai)=1*Pi=(1-1/n)n-1

E(X)=∑E(Ai)= ∑(1-1/n)n-1=n(1-1/n)n-1=(n/e)/(1-1/n)=n2/(e(n-1))