这个世界上有三种几何学

一、  泰勒斯——推理几何学的鼻祖

几何学四千年前发源于古埃及，当时主要是人对自然界的有意识的改造与创新（发明车轮，建筑房屋、桥梁、粮仓，测量长度，确定距离，估计面积与体积等）而出现的实验几何学。公元前七世纪， “希腊七贤”之一的泰勒斯到埃及经商，掌握了埃及几何学，传回希腊。那时，希腊社会安定，经济繁荣，人类对仅仅知道“如何”之类的问题已不满足，他们还要穷究“为何”。于是演绎推理方法应运而生，以泰勒斯为首的爱奥尼亚学派将几何学由实验几何学发展为推理几何学。关于泰勒斯的学术生平虽然没有确切的可靠材料，但下述五个命题的发现应归功于泰勒斯：

（1）     圆被任一直径二等分；

（2）     等腰三角形两底角相等；

（3）     两条直线相交，对顶角相等；

（4）     如果两个三角形有一条边和这条边上的两个角对应相等，则这两个三角形全等；

（5）     内接于半圆的角是直角。

泰勒斯的重要贡献不仅仅在于他发现了上述命题，更重要的是他提供了某种逻辑推理方法。这样，泰勒斯成为第一个在数学中运用证明的人，他的贡献是数学发展史上的一个里程碑。

关于泰勒斯，还有很多有趣的传说故事。比如

（1）     骡子打滚

据说，泰勒斯在其早年的商务活动中，经常用骡子运盐做买卖，有一次过河时，这头骡子滑倒了，盐被河水溶解了一部分，起来后感觉负担减轻很多。从此以后，这头骡子每次过河都要打一个滚。为了改变这头骡子的恶习，有一天，泰勒斯让这头骡子驮着海绵过河。这样，骡子越打滚越沉，骡子因此再也不敢故伎重演了。

（2）     不结婚免痛苦

有一天，也是当时 “希腊七贤”之一的雅典执政官梭伦（Solon, 约公元前630---前560）问泰勒斯为什么一辈子不结婚，泰勒斯当时没有回答。几天之后，泰勒斯让人找到梭伦家，传给他一个假消息，声称自己几天前曾去过雅典，听说梭伦在雅典游历的儿子被杀身亡，梭伦听了很伤心。正当梭伦异常伤心时，泰勒斯跑来告诉他说：“您的儿子根本没有事，我只是想告诉您我为什么一辈子不结婚。”

 

二、  欧几里得——公理化思想的先驱

欧几里得（Euclid, 约公元前330---前275年）是希腊亚历山大里亚时期的著名数学家。在那个时期，经过历代数学家的努力，几何学已经积累了异常丰富的材料，但其内容是繁杂、混乱的，当务之急是如何把这些看起来孤立无关的结论联系起来。许多数学家做过许多尝试，而欧几里得则是唯一的成功者。他将收集、整理得到的数学成果，以命题的形式作出表述并给予严格证明。然后他做出了伟大的创造：筛选定义，选择公理，合理编排内容，精心组织方法，就像一位建筑师，利用他人的数学材料，建起了一座宏伟的数学大厦——《几何原本》（Elements），这构成了欧几里得几何学。这项工作是在公元前300年左右完成的，其重要意义之一就是奠定了数学的公理化思想。

 

三、  几何原本——数学的圣经

《几何原本》问世后，马上吸引了人们的注意力，其影响力超过了其它任何一部科学著作。从1482年最早一本印刷本问世，至今已有一千多种版本，其流传之广泛、影响之久远，是仅次于《圣经》的第二大书。以至于凡是受过初等教育的人，一提到几何，就会想起欧几里得，欧几里得成了几何学的代名词。

《几何原本》共分15卷，1、2、3、4、6各卷为平面几何，5卷为比例图形，7、8、9卷为算术，10卷为直线上的点，11---15卷为立体几何。

我国最早的译本是在明朝时期的1607年，由我国数学家徐光启（1562—1633）和意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci ，1552---1610）翻译出前6卷。整整250年后的1857年，后9卷才由我国清末数学家李善兰(1811—1882)和英国传教士伟烈亚力(A. Wylie, 1815—1887)译出。

 

四、  欧几里得几何体系

l           四种根本性的概念：

1、      定义——几何学中所用的字的意义。如：点、线、面、体、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等。

2、      公理——适用于一切科学的不证自明的真理。如：若a=c, b=c,  则a=b

3、      公设——适用于几何学的不证自明的真理。如：所有直角彼此相等

4、      命题——包括定理和作图题。定理是指能够根据假定条件、公理、公设和定义利用逻辑推理得到的结论；作图题是指由已知的几何学对象找出或作出所求的对象。

《几何原本》共有23个定义，5个公设，5个公理和465个命题组成。由于公理和公设都是不证自明的真理，只是适用范围有所区分，如今，人们已经把它们统称为公理而不加区别了。

l           五条公理

1、      跟同一件东西相等的东西，它们彼此也是相等的；

2、      等量加等量，总量仍相等；

3、      等量减等量，余量仍相等；

4、      彼此重合的东西是相等的；

5、      整体大于部分。

l           五条公设

1、      点到另外一点作直线是可能的；

2、      有限直线不断沿直线延长是可能的；

3、      以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的；

4、      所有直角彼此相等；

5、      如果一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

 

五、  第五公设的疑问

在欧氏几何体系中，作为其基石的五个公理以及五个公设中的前4个都是容易被认同的。但是，对于第五公设，却没有那么简单明了，它很像一条定理。而且，在《几何原本》465个命题中只有一个命题，即三角形内角和等于两直角，在证明中用到了这一结果，因此它似乎没有作为公设的必要。于是，《几何原本》一问世，人们很快就产生了这样的想法：用其它9个公理或公设去证明它！人们为此努力了两千多年，花费了无数数学家的心血，但终究没有成功。在试图对第五公设的证明过程中，人们也发现了许多与第五公设等价的命题，比如，平行公理（过直线外一点可以作唯一一条直线与之平行），三角形内角和定理（三角形内角和等于180度）等，证明其一便相当于证明了第五公设。到了19世纪，德国数学家高斯（Gauss,
C. F., 1777--1855）、俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Ποбаyeвский Н. И.，1793---1856）和德国数学家黎曼（G. B. Riemann,1826--1866）等人，从一次次失败中顿悟：推翻第五公设！从而导致了非欧几何的产生。

高斯被誉为非欧几何的先驱，罗巴切夫斯基被冠以几何学上的哥白尼。黎曼是一个极富天分的多产数学家，在他短暂的一生中，他在许多领域写出了许多有名论文，对数学的发展做出了重要贡献，影响了19世纪后半期数学发展，黎曼几何仅是他的成就之一。

 

六、  高斯——非欧几何的萌芽

从公元前3世纪到1800年的两千多年中，大部分人坚信，以上欧氏公理体系下的欧氏几何是现实空间唯一、绝对正确的反映。但由于人们对第五公设的疑问和不懈努力的一次次失败，使人们的这种信念发生了动摇。德国数学家高斯（Gauss, C. F., 1777--1855）是最早认识到这一点的人。

早在1792年，年仅15岁的高斯就思考过第五公设问题。当高斯竭尽全力也证明不出平行公理时，他逐渐认识到平行公理是不可能证明的。1794年，他发现了非欧几何的一个事实：四边形的面积与360度和四内角和之差成正比。从1799年起，他就着手建立这一新几何，最初称为“反欧几何”，后又改称“星空几何”，最后定名“非欧几何”。1817年，高斯在给朋友的信中流露了他的想法。1824年，高斯又在给朋友的信中写到：“三角形内角和小于180度，这一假设引出一种特殊的、和我们的几何完全不相同的几何。这种几何自身是完全相容的，当我发展它的时候，结果完全令人满意。”他的这一假设相当于把平行公理改换为：过直线外一点可以做多条直线与之平行。

高斯是当时声望很高的数学家，由于顾及自己的名声，“怕引起某些人的呐喊”，他没有勇气公开发表他的这种与现实几何学相悖的新发现。正在他犹豫不决之时，一位叫鲍耶（John Bolyai, 1802--1860）的匈牙利少年把这种新几何提了出来。鲍耶是高斯一位大学同学的儿子。老鲍耶曾对第五公设着迷但无功而止，深受第五公设之害。当他得知自己的儿子在研究第五公设时，曾极力制止。但儿子不听劝阻，潜心钻研，终于有了新发现。1832年，父亲把儿子的成果——一篇26页的论文《关于一个与欧几里得平行公设无关的空间的绝对真实性的学说》，作为附录附在自己新出版的几何著作《向好学青年介绍纯粹数学原理的尝试》之末，并把该书寄给高斯，请高斯评价。高斯在回信中表示如果要称赞鲍耶的工作等于称赞自己，因为它与自己30年前就开始的一部分工作完全相同。还说，由于大多数人对此报有不正确的态度，他本来一辈子不愿意发表它们，现在正好由老同学的儿子发表了，也了却了一桩心愿。高斯的回信使老鲍耶非常高兴，但却大大刺痛了满怀希望的小鲍耶。他认为高斯依仗自己的学术声望，企图剽窃他的成果，因此而一蹶不振，陷入失望，放弃了数学研究。由于学术争论和家庭纠纷，小鲍耶被父亲驱逐到偏僻的多马尔德居住，晚年疾苦，58岁与世长辞。

 

七、  第一种非欧几何——罗巴切夫斯基几何

与高斯、鲍耶大体上同时发现非欧几何的另一位数学家是俄罗斯喀山大学的罗巴切夫斯基（Ποбаyeвский  Николай  Иванович， 1793---1856）。他从1815年开始研究第五公设问题，并很快意识到第五公设的证明可能是不存在的。1823年，他用命题“过直线外一点可以作两条直线与之不相交”代替第五公设作为基础，保留欧氏几何学的其它公理与公设，经过严密逻辑推理，逐渐建立了一套全新的古怪的几何体系。1826年2月11日，他在喀山大学数学物理系的学术讨论会上做了题为《关于几何原理的扼要叙述及平行线定理的一个严格证明》的报告，这一天，被后人确定为非欧几何的诞生日。由于当时没有找到这种几何的实际应用，他把这种几何称为“虚几何学”或“想象几何学”，后又改称为“泛几何学”。在他的后半生，他不断给出这种几何学的新的成果，直到晚年，双目失明的他还以口述的方式写下了他的最后著作《泛几何学》（1855年）。后人为了纪念罗巴切夫斯基，把这种几何称为罗巴切夫斯基几何。

 

八、  第二种非欧几何——黎曼几何

1854年，高斯的学生，德国另一位数学家黎曼（Geord Bernhard Riemann,1826--1866）在德国哥廷根大学作了题为《论作为几何基础的假设》的报告，提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”。这种几何是用命题“过直线外一点所作任何直线都与该直线相交”代替第五公设作为前提，保留欧氏几何学的其它公理与公设，经过严密逻辑推理，而建立起来的几何体系。该文于黎曼去世两年后的1868年发表。

 

九、  三种几何学的结论对比

三种几何学都拥有除平行公理以外的欧氏几何学的所有公理体系，如果不涉及与平行公理有关内容，三种几何没有什么区别。但是只要与平行有关，三种几何的结果就相差甚远。现举出几例列表对比如下：

欧氏几何学	罗巴切夫斯基几何学	黎曼几何学
三角形内角和等于180度	三角形内角和小于180度	三角形内角和大于180度
一个三角形的面积与三内角之和无关	一个三角形的面积与角欠成反比	一个三角形的面积与角余成正比
两平行线之间的距离处处相等	两平行线之间的距离沿平行线的方向越来越大	两平行线之间的距离沿平行线的方向越来越小
存在矩形和相似形	不存在矩形和相似形	不存在矩形和相似形

 

十、  三种几何学的适用范围与模型

三种几何学有着相互矛盾的结论，但真理只有一个，为什么会出现三种矛盾的真理呢？原来，客观事物是复杂多样的，在不同的客观条件下，会有不同的客观规律。

例如：在日常小范围内，房屋建设，城市规划等，欧氏几何学是适用的。但是，如果要作远距离的旅行，例如从深圳到北京，在地球上深圳到北京的最短路线已经不再是直线，而是一条圆弧，地球上的球面三角学就是黎曼几何学了，其三角形内角和是大于180度的。如果把目光放的再远些，在太空中漫游时，罗巴切夫斯基几何学就大显身手了。在科学研究中，各种几何有着其不可替代的地位。欧氏几何学的重要性自不待言；20世纪初，爱因斯坦在研究广义相对论时，他意识到必须用一种非欧几何来描述这样的物理空间，这种非欧几何就是黎曼几何的一种；1947年，人们对对视空间（从正常的有双目视觉的人心理上观察到的空间）所做的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基几何来描述。

三种几何学各有其适用范围，也各有其模型。欧几里得几何学的模型最容易理解，我们生活的平面和三维现实空间就是很合适的模型。黎曼几何学的模型可以用球面来实现。

对于罗巴切夫斯基几何，不少数学家给出过多种不同的模型。第一个模型是由法国数学家庞斯莱（Poncelet, 1788—1867）给出的。他把圆心位于一条给定直线S上的半圆看作“直线”。显然，过两点可以唯一确定一条“直线”，过“直线”外一点可以作多条“直线”与之平行（不相交）。