中南大学ACM12月月赛第二场热身赛解题报告

Problem A 考察地形

题目中所描述的P即指任意两点之间的所有最短路径所覆盖的不同的路的条数，最后要求求P的最大值。

一个比较直接、暴力的想法就是首先用Floyd处理出任意两点i,j间的最短路，然后枚举i、j，每次扫描一遍顶点确定在所有最短路中都有哪些顶点，即对k满足f[i][k]+f[k][j]=f[i][j]。然后凡是最短路上的边，必然是k的集合中的点所连成的边，因此我们再一对一对枚举k集合中的点x、y，并判断两点间的那条路是否在最短路上，即是否满足f[i][x]+g[x][y]+f[y][j]

==f[i][j]或者f[i][y]+g[y][x]+f[x][j]==f[i][j]，并计数即可。

需要注意的是，由于两点之间可能有多条路径，而显然比较长的是没有用，因此在读入数据时就可以顺便处理并保留两点间最短的那条路，并顺便统计出数量，便于后面统计结果。

Problem B 基础设施建设

这个题目可以转化成最小割去求解。

由于利润同时可以看做是所有可能的收益减去建设费用，同时减去因为没有建相应设施而损失的顾客带来的收益，所以可以建一个图，左边为待建设的设施，右边为各消费人群，中间由左向右对应连起容量无穷大的有向边，然后构造一个源点和各设施相连，容量为建设费用，然后再构造一个汇点，让消费人群分别和汇点相连，容量为该消费人群所带来的收益。

最后求建好图的最小割即可。

Problem C 购置游泳圈

这个题目可以转化成用最少点覆盖尽可能多的区间。

因此可以首先将区间按右端点排升序，右端点相同的按左端点排降序，之后每次点都放在当前第一个区间的右端点上，直到遇到一个区间的左端点在该点的右边为止，再重新放点并更新计数。

Problem D 青蛙王子过河

这个题目可以通过递推来得到我们想要的结论，结果是(m+1)*2^n

首先，最多有多少只青蛙能过和取决于最多有多少只青蛙能站在河中央，荷叶显然只能占一个，我们不妨固定荷叶的数目来观察石柱的变化对结果的影响。

我们用f[m]
表示有m个荷叶和n个石柱时，最多有多少只青蛙能够过河。实际上石柱和岸是差不多的，比如如果我们分析有多少只青蛙可以落脚在第n个石柱上，那么显然这是等于f[m][n-1]的，因为只能借助其它n-1根石柱和m个荷叶来达成目的。

于是我们就得到了这样的结论，f[m]
=f[m][n-1](第n个石柱上的青蛙)+f[m][n-1](剩下的地方所有的可以过到对岸的青蛙)。当然，第n个石柱上的青蛙既然能到达第n个石柱，自然也可以到达右岸，因为对青蛙的操作都是可逆的（逆回去时把原本的A变成D即可）。

根据上面的公式，我们自然可以得到f[m]
=f[m][0]*2^n，f[m][0]表示没有石柱时一共可以过到对岸的青蛙，自然就是m+1，这样就得到了最后的结果。

Problem E 放石子游戏

为了保证行和列的唯一性，我们容易想到用二分图去处理，左边为行，右边为列，如果该点有坑即连一条对应的边，这样我们就把问题转化成了求二分图是否有唯一的最大匹配。

在求的时候我们运用一些贪心的思想，如果有一个顶点的度为1的话，那么和这个顶点相连的这条边就必须取，删去这对点以及和这对点相连的边之后继续这样贪心下去。

如果最后有某些点没有删但度却为0，那么就无解，其次，如果有些点的度大于0（或者说大于1），那么就有多组解，再次，就能说明有唯一解了。

Problem F 跳房子游戏

这个题目可以用NlogN的最长上升子序列的求法求解，只不过小于第一个点的值都忽略掉就可以了。

Problem G 镇管的难题

我们不妨设3个边分别为a、b、c，实际上就是去确定满足a^2=c^2-b^2的可能的a都有哪些。

实际上对于整数c、b(c>b)，我们可以推证c^2-b^2的取值范围是所有除4之外4的倍数，以及所有除1之外的奇数，这点我就不在此证明了，留给大家吧。

之后，就很容易知道，a只要不为1和2，就都是可以的。

Problem H 排队

基础的链表应用。

Problem I VIP优惠卡

基础的组合数学，但是如果直接去运算的话会超出long long int的范围，但我们发现实际解是小于int的表示范围的，这样我们就可以借助杨辉三角形来求解，首先预处理出杨辉三角形即可。

当然，用高精度也可以。

Problem J 财务统计

水题，但是我写的题意有些费解……