第一章 开篇(2)

习题 5. 那个程序员说他有1MB的可用存储空间，但是我们概要描述的代码需要1.25MB的空间。他可以不费力气的索取到额外的空间。如果1MB空间是严格的边界，你会推荐如何处理呢？你的算法的运行时间又是多少？

用位向量表示10 000 000个整数需要10 000 000个位，10000000 bits = 1.192MB.所以程序员可利用的1MB空间是显然不够的，可以采用两趟算法，第一趟利用5000000个位来排序0~4999999之间的整数，然后在第二趟中排序排序5000000~9999999之间的整数。代码如下：

#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <iostream>
#include <boost/timer.hpp>
#include <boost/progress.hpp>

using namespace std;
using namespace boost;

#define  BITSPERDWORD 32          //表示一个整形变量具有32个位
#define  SHIFT         5          //单次位移量，右移一位相当于除以2，左移一位相当于乘以2
#define  MASK         0x1f        //掩码，其十进制即为31
#define  N            10000000    //表示10000000个7为非负整数

//将位数组从0开始的第i个位置为0,即将整数i在位向量中对应位置的位置为false
void resetBits(int * arry, int i)
{
arry[i >> SHIFT] &= ~(1 << (i & MASK));  //m%n,n = 2^x时，m%n = m & (n-1)
}

//将位数组从0开始的第i个位置为1，即将整数i在位向量中对应位置的位置为true
void setBits(int * arry, int i)
{
arry[i >> SHIFT] |= (1 << (i & MASK));
}

//检测i是否在集合中
int testBits(int * arry, int i)
{
return arry[i >> SHIFT] & (1 << (i & MASK));
}

//返回[l, u]范围内的一个随机整数
int randint(int l, int u)
{
return (l + rand() % (u - l + 1));
}

int * geneRand2(int m ,int n)
{
int i, j;
int *pArry = new int
;
for (i = 0; i < n; i++)  //生成数组
{
pArry[i] = i;
}

//筛选随机数
srand((unsigned)time(NULL));
for (i = 0; i < m; i++)
{
j = randint(i, n - 1);
int t = pArry[i];
pArry[i] = pArry[j];
pArry[j] = t ;
}
return pArry;
}

void mySort(int m ,int n)
{
int i, j = 0, k;
int *pBitsArry = new int[1 +n / (2 * BITSPERDWORD)]; //使用空间减半
int * p = geneRand2(m ,n);
int *pOutArry = new int[m];  //模拟输出文件

progress_timer t;

for (k = 0; k < 2; k++)
{
for (i = 0; i < (n / 2); i++)
{
resetBits(pBitsArry, i);
}
if (0 == k)
{
for (i = 0; i < m; i++)
{
if (p[i] < (n / 2))
{
setBits(pBitsArry, p[i]);
}
}
for (i = 0; i < (n / 2); i++)
{
if (testBits(pBitsArry, i))
{
pOutArry[j++] = i;
}
}
}
else
{
for (i = 0; i < m; i++)
{
if (p[i] >= (n / 2))
{
setBits(pBitsArry, p[i]-(n / 2));
}
}
for (i = n / 2; i < n; i++)
{
if (testBits(pBitsArry, (i - n / 2)))
{
pOutArry[j++] = i;

}
}
}
}
cout << t.elapsed()<<endl;     // 生成位于0至n-1之间m个有序且不重复的随机整数所用的时间
/*	cout<<"..........................."<<endl;
for (i = 0; i < m; i++)
{
cout << pOutArry[i]<<endl;
}
cout<<"..........................."<<endl;*/
delete [] p;
delete [] pBitsArry;
delete [] pOutArry;

}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
mySort(10000000,10000000);
return 0;
}

排序计算时间为(m = n = 1000 0000)：0.859s

k趟算法可以在kn的时间开销和n/k的空间开销内完成对最多n个小于n的无重复正整数的排序。

习题 6. 如果那个程序员说的不是每个整数做多出现一次，而是每个整数最多出现10次，你又如何建议他呢？你的解决方案如何随着可用存储空间总量的变化而变化呢？

因为10等于二进制的1010， 2^3<10<2^4，所以可以用4位的半字节来统计它的出现次数，即需要4*1000 0000个位来表示1000 0000个正整数。利用习题五，可以使用4000 0000/k个位在k趟内完成对整个文件的排序。

习题 7. 本书1.4节中描述的程序存在一些缺陷。首先是假设在输入中没有出现两次的整数。如果是假定在输入中没有出现两次的整数。如果某个数出现超过一次的话，会发生什么？在这种情况下，如何修改程序来调用错误处理函数？当输入整数小于零或者大于等于n时，又会发生什么？如果某个输入不是数值又如何？在这些情况下，程序该如何处理？程序还应该包含哪些明智的检查？描述一些用以测试程序的小型数据集合，并说明如何正确处理上述以及其他不良情况。

1） 如果某个数出现超过一次的话，那么该数在排序后的文件中只会出现一次，因为该数对应的位被重复置位为1.在调用setBits()函数时，首先检查该数在位向量中对应的的位是否为0，如果是0表示该数第一次出现，那么将其置为1；否则则表示该数是重复出现的，可抛出异常进行错误处理。

2) 因为负数对于是个有符号数，其二进制的最高位为1，但计算机存储负数并不是按照其二进制形式直接存储的，而是对其取反加1再存储的，所以当输入小于零时会导致移位运算符和位运算符产生错误的值，从而导致访问数组越界等问题。如：

#include <iostream>
using namespace std;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int a = 10, b = -10;
cout << (a >> 5) << endl;
cout << (a & 31)<<endl;

cout << (b >> 5) << endl;
cout << (b & 31)<<endl;
return 0;
}

输出结果为：0
10
-1
22
对于任何一个整数A，若A>0，则其补码等于其本身；若A<0，则其补码为其符号位不变，其他位按位取反再加1。
b = 10000000000000000 00000000 00001010 //b的原码

b' = 11111111 11111111 11111111 11110110 //b的补码
所以，b>>5 = 1111111111111111 11111111 11111111 (算术右移，即对有符号数右移时，左边移入该数的符号位，原来为1就移入1，原来为0就移入0)，也就等于-1. b & 31 = 00000000 0000000000000000 00010110 = 22
若输入整数大于或小于n时，会发生位向量数据访问越界。对于输入不是数值时，应首先检查输入数据是否为整数。