深入浅出谈CUDA-[第五章][ 第二个CUDA程序]

第二个 CUDA程序

前面介绍的计算平方和的程序，似乎没有什么实用价值。所以我们的第二个 CUDA 程序，要做一个确实有（某些）实用价值的程序，也就是进行矩阵乘法。而且，这次我们会使用浮点数。
虽然矩阵乘法有点老套，不过因为它相当简单，而且也可以用来介绍一些有关 CUDA 的有趣性质。

矩阵乘法

为了单纯起见，我们这里以方形的矩阵为例子。基本上，假设有两个矩阵 A 和 B，则计算 AB = C
的方法如下：
for(i = 0; i < n; i++) {

for(j = 0; j < n; j++) {

C[i][j] = 0;

for(k = 0; k < n; k++) {

C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];

}

}

}
一开始，我们先准备好产生数据、设定 CUDA 等等的工作：
int main()

{

float *a, *b, *c, *d;

int n = 1000;

if(!InitCUDA()) return 0;

a = (float*) malloc(sizeof(float) * n * n);

b = (float*) malloc(sizeof(float) * n * n);

c = (float*) malloc(sizeof(float) * n * n);

d = (float*) malloc(sizeof(float) * n * n);

srand(0);

matgen(a, n, n);

matgen(b, n, n);

clock_t time = matmultCUDA(a, n, b, n, c, n, n);

matmult(a, n, b, n, d, n, n);

compare_mat(c, n, d, n, n);

double sec = (double) time / CLOCKS_PER_SEC;

printf("Time used: %.2f (%.2lf GFLOPS)\n", sec,

2.0 * n * n * n / (sec * 1E9));

return 0;

}
InitCUDA 函式和第一个 CUDA
程序一样，可以直接参考前面的文章。以下是上面用到的一些其它的函式：
产生矩阵：
void matgen(float* a, int lda, int n)

{

int i, j;

for(i = 0; i < n; i++) {

for(j = 0; j < n; j++) {

a[i * lda + j] = (float) rand() / RAND_MAX +

(float) rand() / (RAND_MAX * RAND_MAX);

}

}

}
这个函式只是利用随机数生成器把矩阵填满 0 ~ 1 之间的数字。特别注意到因为 C
语言中无法声明变动大小的二维矩阵，所以我们使用 i * lda + j 的方式。
进行矩阵乘法：
void matmult(const float* a, int lda, const float* b, int ldb, float* c, int ldc, int n)

{

int i, j, k;

for(i = 0; i < n; i++) {

for(j = 0; j < n; j++) {

double t = 0;

for(k = 0; k < n; k++) {

t += a[i * lda + k] * b[k * ldb + j];

}

c[i * ldc + j] = t;

}

}

}
这是以 CPU 进行矩阵乘法、用来进行验证答案正确与否的程序。特别注意到它用
double 来储存暂时的计算结果，以提高精确度。
验证结果：
void compare_mat(const float* a, int lda, const float* b, int ldb, int n)

{

float max_err = 0;

float average_err = 0;

int i, j;

for(i = 0; i < n; i++) {

for(j = 0; j < n; j++) {

if(b[i * ldb + j] != 0) {

float err = fabs((a[i * lda + j] -

b[i * ldb + j]) / b[i * ldb + j]);

if(max_err < err) max_err = err;

average_err += err;

}

}

}

printf("Max error: %g Average error: %g\n",

max_err, average_err / (n * n));

}
这个函式计算两个矩阵的最大相对误差和平均相对误差，并把结果印出来。
最后是 CUDA 的矩阵乘法的部份：
#define NUM_THREADS 256

clock_t matmultCUDA(const float* a, int lda, const float* b, int ldb, float* c, int ldc, int n)

{

float *ac, *bc, *cc;

clock_t start, end;

start = clock();

cudaMalloc((void**) &ac, sizeof(float) * n * n);

cudaMalloc((void**) &bc, sizeof(float) * n * n);

cudaMalloc((void**) &cc, sizeof(float) * n * n);

cudaMemcpy2D(ac, sizeof(float) * n, a, sizeof(float) * lda, sizeof(float) * n, n, cudaMemcpyHostToDevice);

cudaMemcpy2D(bc, sizeof(float) * n, b, sizeof(float) * ldb, sizeof(float) * n, n, cudaMemcpyHostToDevice);

int blocks = (n + NUM_THREADS - 1) / NUM_THREADS; matMultCUDA<<<blocks * n, NUM_THREADS>>>(ac, n, bc, n, cc, n, n);

cudaMemcpy2D(c, sizeof(float) * ldc, cc, sizeof(float) * n, sizeof(float) * n, n, cudaMemcpyDeviceToHost);

cudaFree(ac);

cudaFree(bc);

cudaFree(cc);

end = clock();

return end - start;

}
这个函式相当单纯，就是在显卡内存中配置存放矩阵的内存，然后把主内存中的矩阵数据复制到显卡内存上。不过，因为我们的矩阵乘法函式可以指定 pitch（即 lda、ldb、和 ldc），所以如果用一般的 cudaMemcpy
函式来复制内存的话，会需要每个 row 都分开复制，那会需要呼叫很多次 cudaMemcpy 函式，会使效率变得很差。因此，在这里我们用了一个新的
cudaMemcpy2D 函式，它是用来复制二维数组，可以指定数组的 pitch。这样就可以透过一次函数调用就可以了。
进行计算的 kernel 如下：
__global__ static void matMultCUDA(const float* a, size_t lda, const float* b, size_t ldb, float* c, size_t ldc, int n)

{

const int tid = threadIdx.x;

const int bid = blockIdx.x;

const int idx = bid * blockDim.x + tid;

const int row = idx / n;

const int column = idx % n;

int i;

if(row < n && column < n) {

float t = 0;

for(i = 0; i < n; i++) {

t += a[row * lda + i] * b[i * ldb + column];

}

c[row * ldc + column] = t;

}

}
这个函式一开始先从 bid 和 tid 计算出这个 thread
应该计算的 row 和 column，在判断 row 和 column
在范围内之后，就直接进行计算，并把结果写到 c 矩阵中，是非常单纯的函式。
在 GeForce 8800GT 上实际执行的结果如下：
Max error: 2.01484e-006 Average error: 3.36637e-007

Time used: 1.1560 (1.73 GFLOPS)
可以看到两个问题：

很明显的，执行效率相当低落。
最大相对误差偏高。理想上应该要低于 1e-6。

计算结果的误差偏高的原因是，在 CPU 上进行计算时，我们使用 double（即 64 bits
浮点数）来累进计算过程，而在 GPU 上则只能用 float（32 bits
浮点数）。在累加大量数字的时候，由于累加结果很快会变大，因此后面的数字很容易被舍去过多的位数。
由于 CUDA 的浮点数运算，在进行加、减、乘法时是符合 IEEE 754
规定的精确度的，因此，我们可以利用 Kahan's Summation Formula 来提高精确度。把程序改成：
if(row < n && column < n) {

float t = 0;

float y = 0;

for(i = 0; i < n; i++) {

float r;

y -= a[row * lda + i] * b[i * ldb + column];

r = t - y;

y = (r - t) + y;

t = r;

}

}
修改后的程序的执行结果是：
Max error: 1.19209e-007 Average error: 4.22751e-008

Time used: 1.1560 (1.73 GFLOPS)
可以看到相对误差有很大的改善，效率则没什么变化。
由于 Kahan's Summation Formula 需要的运算量提高，但是效率却没有什么改变，可以看出这个 kernel
主要的瓶颈应该是在内存的存取动作上。这是因为有大量的内存读取是重复的。例如，矩阵 a 的一个 row
在每次进行计算时都被重复读入，但这是相当浪费的。这样的计算方式，总共需要读取 2*n3 次内存。如果让一个 row
只需要读入一次的话，就可以减到为 n3+n2 次。

第一个改良

和我们的第一个 CUDA 程序一样，我们可以利用 shared memory
来储存每个 row 的数据。不过，因为只有同一个 block 的 threads 可以共享 shared memory，因此现在一个 row
只能由同一个 block 的 threads 来进行计算。另外我们也需要能存放一整个 row
的 shared memory。因此，把先把呼叫 kernel 的部份改成：
matMultCUDA<<<n, NUM_THREADS, sizeof(float) * n>>>(ac, n, bc, n, cc, n, n);
kernel 的部份则改成：
__global__ static void matMultCUDA(const float* a, size_t lda, const float* b, size_t ldb, float* c, size_t ldc, int n)

{

extern __shared__ float data[];

const int tid = threadIdx.x;

const int row = blockIdx.x;

int i, j;

for(i = tid; i < n; i += blockDim.x) {

data[i] = a[row * lda + i];

}

__syncthreads();

for(j = tid; j < n; j += blockDim.x) {

float t = 0;

float y = 0;

for(i = 0; i < n; i++) {

float r;

y -= data[i] * b[i * ldb + j];

r = t - y;

y = (r - t) + y;

t = r;

}

c[row * ldc + j] = t;

}

}

第一个部份先把整个 row 读到 shared memory 中，而第二个部份则进行计算，并没有太大的变化。主要的差别是现在一个 row
只由一个 block 进行计算。
在 GeForce 8800GT 上，执行的结果是：
Max error: 1.19209e-007 Average error: 4.22751e-008

Time used: 0.4220 (4.74 GFLOPS)
很明显的，计算的结果并没有改变，不过速度则提高了超过一倍。虽然如此，但是这样的效率仍不尽理想，因为理论上 GeForce 8800GT
有超过 300GFLOPS 的运算性能。即使是把 Kahan's Summation Formula
所需要的额外运算考虑进去，这样的效率仍然连理论最大值的十分之一都不到。
会有这样的结果，原因其实还是同样的：对内存的存取次数太多了。虽然现在 A 矩阵的 row
的数据已经不再需要重复读取，但是 B 矩阵的 column 的数据仍然一直被重复读取。
另一个问题比较不是那么明显：对 B 矩阵的读取，虽然看起来不连续，但实际上它是连续的。这是因为不同的 thread
会读取不同的 column，因此同时间每个 thread 读取的各个 column
加起来，就是一个连续的内存区块。那么，为什么效率还是不佳呢？这是因为，GPU 上的内存控制器，从某个固定的倍数地址开始读取，才会有最高的效率（例如 16 bytes
的倍数）。由于矩阵大小并不是 16 的倍数（这里使用的是 1000x1000 的矩阵），所以造成效率不佳的情形。
要解决这个问题，我们可以在 cudaMalloc 的时候稍微修改一下，让宽度变成 适当的倍数就可以了。但是，适当的倍数是多少呢？幸运的是，我们并不需要知道这些细节。CUDA
提供了一个 cudaMallocPitch 的函式，可以自动以最佳的倍数来配置内存。因此，我们可以把
cudaMalloc 的部份改成：
size_t pitch_a, pitch_b, pitch_c;

cudaMallocPitch((void**) &ac, &pitch_a, sizeof(float) * n, n);

cudaMallocPitch((void**) &bc, &pitch_b, sizeof(float) * n, n);

cudaMallocPitch((void**) &cc, &pitch_c, sizeof(float) * n, n);
cudaMallocPitch 函式会以适当的倍数配置内存，并把配置的宽度传回。因此，在把矩阵复制到显卡内存上时，要使用它传回的宽度：
cudaMemcpy2D(ac, pitch_a, a, sizeof(float) * lda, sizeof(float) * n, n, cudaMemcpyHostToDevice);

cudaMemcpy2D(bc, pitch_b, b, sizeof(float) * ldb, sizeof(float) * n, n, cudaMemcpyHostToDevice);
呼叫 kernel 的部份也需要修改：
matMultCUDA<<<n, NUM_THREADS, sizeof(float) * n>>>(ac, pitch_a / sizeof(float), bc, pitch_b / sizeof(float), cc, pitch_c / sizeof(float), n);
同样的，把计算结果复制回到主内存时，也要使用传回的宽度值：
cudaMemcpy2D(c, sizeof(float) * ldc, cc, pitch_c, sizeof(float) * n, n, cudaMemcpyDeviceToHost);
这样就完成了。Kernel 部份则不需要修改。
这样的修改有多大的效果呢？在 GeForce 8800GT 上执行，结果如下：
Max error: 1.19209e-007 Average error: 4.22751e-008

Time used: 0.1250 (16.00 GFLOPS)
可以看到，执行速度又再大幅提高了三倍多！而这只是把内存的配置方式稍微修改一下而已。
虽然执行速度提高了很多，但是，和前面提到的理论值相比，其实还是有相当的差距。这是因为，前面也提到过，这样的做法需要 n3+n2
次的内存读取，和 n2 次 的内存写入动作。由于 n = 1000，每个数字的大小是 32 bits，所以总共的内存存取数据量约为 4GB。除以实际执行的时间 0.125
秒，得到的带宽数值是约 32GB/s，这已经接近 GeForce 8800GT 显卡内存的带宽了。由于我们计算时间的时候，把配置内存、以及数据的复制动作也计算进去，因此实际上花费在 kernel
的时间是更短的（约 0.09 秒）。因此，可以很明显的看出，这个程序的效率，是受限于内存带宽的。

进一步的改良

上一节的结论显示出，矩阵乘法的程序，效率是受限于内存带宽的。那有没有办法降低内存的存取次数呢？答案当然是有的，不然就不会有这一节了 :)
要进一步降低内存带宽的使用，可以注意到，在上一节的方法中，虽然 A 矩阵的存取次数被减至最低，但是 B
矩阵的存取次数并没有减少。这是因为我们只将 A 矩阵的 row 加载到 shared memory
中，但是 B 矩阵的 column 也是有被重复使用的。理想上应该也可以避免重复加载才对。不过，由于 B
矩阵的 column 使用的时机，和 A 矩阵的 row 是不同的，所以并不能直接这样做。
解决方法是 "blocking"。也就是把整个矩阵乘法的动作，切割成很多小矩阵的乘法。例如，要计算 C
矩阵的 (0, 0) ~ (15, 15) 的值，可以把它想成：
A(0~15, 0~15) * B(0~15, 0~15) + A(0~15,16~31) * B(16~31, 0~15)

+ A(0~15, 32~47) * B(32~47, 0~15) + ...
这样一来，我们就可以把两个小矩阵加载到 shared memory，则小矩阵本身的乘法就不需要再存取任何外部的内存了！这样一来，假设小矩阵的大小是 k，则实际上需要的内存存取次数就会变成约 2k2(n/k)3 = 2n3/k。
由于目前 CUDA 每个 block 的 thread
数目最多是 512，因此 k = 16 似乎是一个相当理想的数字（共 256
个 threads）。因此，对于一个 n = 1000 的矩阵来说，我们可以把内存存取的量减少到约 500MB，也就是上一节的存取量的 1/8。理论上，这样应该可以让效率提高八倍（假设没有遇到别的瓶颈）。
为了方便进行区块的计算，我们让每个 block 有 16x16 个 threads，再建立 (n/16)x(n/16)
个 blocks。把呼叫 kernel 的地方改成：
int bx = (n + BLOCK_SIZE - 1) / BLOCK_SIZE;

dim3 blocks(bx, bx);

dim3 threads(BLOCK_SIZE, BLOCK_SIZE);

matMultCUDA<<<blocks, threads>>>(ac, pitch_a / sizeof(float), bc, pitch_b / sizeof(float), cc, pitch_c / sizeof(float), n);
BLOCK_SIZE 则是定义成 16。dim3
是 CUDA 的一种数据型态，表示一个 3D 的向量。在这里，我们透过
dim3 来建立 16x16 个 threads
的 block，和 (n/16)x(n/16) 个 blocks。
Kernel 程序的部份，则改成：
__global__ static void matMultCUDA(const float* a, size_t lda, const float* b, size_t ldb, float* c, size_t ldc, int n)

{

__shared__ float matA[BLOCK_SIZE][BLOCK_SIZE];

__shared__ float matB[BLOCK_SIZE][BLOCK_SIZE];

const int tidc = threadIdx.x;

const int tidr = threadIdx.y;

const int bidc = blockIdx.x * BLOCK_SIZE;

const int bidr = blockIdx.y * BLOCK_SIZE;

int i, j;

float results = 0;

float comp = 0;

for(j = 0; j < n; j += BLOCK_SIZE) {

if(tidr + bidr < n && tidc + j < n) {

matA[tidr][tidc] = a[(tidr + bidr) * lda + tidc + j];

}

else {

matA[tidr][tidc] = 0;

}

if(tidr + j < n && tidc + bidc < n) {

matB[tidr][tidc] = b[(tidr + j) * ldb + tidc + bidc];

}

else {

matB[tidr][tidc] = 0;

}

__syncthreads();

for(i = 0; i < BLOCK_SIZE; i++) {

float t;

comp -= matA[tidr][i] * matB[i][tidc];

t = results - comp;

comp = (t - results) + comp;

results = t;

}

__syncthreads();

}

if(tidr + bidr < n && tidc + bidc < n) {

c[(tidr + bidr) * ldc + tidc + bidc] = results;

}

}
注意到因为我们现在使用 16x16 的 threads，因此
threadIdx 变量可以取得 threadIdx.x
和 threadIdx.y，范围分别是 0 ~ 15。blockIdx.x
和 blockIdx.y 变量也是同样的情形，范围分别是 0 ~ n/16。
在程序中，因为矩阵的大小不一定会是 16 的倍数，因此需要使用 if
判断式检查是否超出矩阵范围。
这个版本在 GeForce 8800GT 上的执行结果如下：
Max error: 1.19209e-007 Average error: 4.22751e-008

Time used: 0.0780 (25.64 GFLOPS)
速度虽然提高了，但是似乎并没有达到预期中的八倍。当然，前面提到过，我们在计算时间时，把一些复制内存、配置内存的动作也计算在内，这些动作的时间并不会缩短。实际上 kernel
的运行时间，大约是 0.053 秒左右（约略相当于 38GFLOPS），比上一节的版本快了将近一倍。
如果这一版程序已经不再限于内存带宽，那为什么没有达到预期的效率呢？这是因为这一版程序已经是限于指令周期了。除了使用 Kahan's Summation Formula
会需要更多的运算之外，程序中也有大量计算矩阵地址的乘法等等，这都会需要花费运算资源。另外，那些用来判断超出矩阵范围的 if
判断式，也会有一定的影响。
要把那些 if 判断式去掉，有一个方法是，在配置内存时，就配置成 16
的倍数，并在复制矩阵到显卡内存之前，先将它清为 0。如下所示：
int newn = ((n + BLOCK_SIZE - 1) / BLOCK_SIZE) * BLOCK_SIZE;

cudaMallocPitch((void**) &ac, &pitch_a, sizeof(float) * newn, newn);

cudaMallocPitch((void**) &bc, &pitch_b, sizeof(float) * newn, newn);

cudaMallocPitch((void**) &cc, &pitch_c, sizeof(float) * newn, newn);

cudaMemset(ac, 0, pitch_a * newn);

cudaMemset(bc, 0, pitch_b * newn);
这样一来，我们就可以把 kernel 中的 if 判断式都移除了：
__global__ static void matMultCUDA(const float* a, size_t lda, const float* b, size_t ldb, float* c, size_t ldc, int n)

{

__shared__ float matA[BLOCK_SIZE][BLOCK_SIZE];

__shared__ float matB[BLOCK_SIZE][BLOCK_SIZE];

const int tidc = threadIdx.x;

const int tidr = threadIdx.y;

const int bidc = blockIdx.x * BLOCK_SIZE;

const int bidr = blockIdx.y * BLOCK_SIZE;

int i, j;

float results = 0;

float comp = 0;

for(j = 0; j < n; j += BLOCK_SIZE) {

matA[tidr][tidc] = a[(tidr + bidr) * lda + tidc + j];

matB[tidr][tidc] = b[(tidr + j) * ldb + tidc + bidc];

__syncthreads();

for(i = 0; i < BLOCK_SIZE; i++) {

float t;

comp -= matA[tidr][i] * matB[i][tidc];

t = results - comp;

comp = (t - results) + comp;

results = t;

}

__syncthreads();

}

c[(tidr + bidr) * ldc + tidc + bidc] = results;

}
这个版本的执行结果是：
Max error: 1.19209e-007 Average error: 4.22751e-008

Time used: 0.0780 (25.64 GFLOPS)
似乎没有改善。不过，实际上 kernel 的运行时间已经减少到 0.042
秒（约略相当于 48GFLOPS）。

结论

有些读者可能会想，如果把 block 再变得更大（例如 32x32）是否会有帮助呢？当然，由于最后的程序已经不再是受限于内存带宽（在 0.042
秒内存取 500MB 的数据约相当于 12GB/s 的带宽），所以把 block
再加大并不会有帮助了。而且，由于一个 block 内的 thread 数目最多只能到 512
个，将 block 变大也会造成很多额外负担。而且 shared memory 的大小也有限制（GeForce 8800GT
的 shared memory 大小限制是 16384 bytes），所以也不能任意增加 block
的大小。
最后一版程序的完整档案可以从这里下载。