原码、反码、补码之来龙去脉

1. 为什么偏向用十六进制？



16进制数逢16进1，2进制逢2进1。2^4=16。

16进制进一位，恰好对应二进制进四位(十六进制10 = 二进制1 0000, 十六进制100 = 二进制1 0000 0000)。

从而，16进制数(如: 2A9)，可以按位依次转成二进制: 2(0010)A(1010)9(1001)。每一位对应二进制四位。

即: 2A9 = 0010 1010 1001

故，当看到十六进制数 fffffff3 时，就能立即方便地反应出其二进制的数值了。

后面会在数值前标明进制说明:

二进制: (binary) 0000 0011

八进制: (octal) 325

十进制: (decimal) 289

十六进制: (hex) ffff fff3

2. 数据在内存中存储的方式



int i = 3;

以 16 位系统为例，i 在内存中占两个字节，结构如下: (binary) 0000 0000 0000 0011

为了方便，我们设系统为8位的，int 只占一个字节。即 int i = 3 的存储结构为: (binary) 0000 0011

3. 溢出与"模"的概念



从上可以看出，int 占一个字节的话，能储存的数的范围是 (binary) 0000 0000 -> (binary) 1111 1111，或者说 (decimal) 0 -> (decimal) 255

如果两个数想加，超过了这个范围，那么就会"溢出"。

例如，在这个存储中， (decimal) 4 + (decimal) 254 = ?

从二进制的角度看：

(binary) 0000 0100 = (decimal) 4

(binary) 1111 1110 = (decimal) 254

------------------------------------- +

(binary) 1 0000 0010 = (decimal) 258

因为只能存储8位，溢出的那个 1 就不得不被丢掉啦！ 于是就只剩下 (binary) 0000 0010 了。

也就是说：(decimal) 4 + (decimal) 254 = (decimal) 2 (丢弃溢出丢出来的奇怪结果！这可是后面能进行负数运算的根源所在呢！)

丢掉的那个溢出数，即 (binary) 1 0000 0000 = (decimal) 256，就被称为 "模"。

"模"可以理解为存储空间的长度(从 0 到 255，长度正好是 256)。当两个数的和超过了存储空间的长度时，我们就取其对模的余数(如：258 mod 256 = 2)。

4. 为什么要用补码？

按前面假设，int 只占一个字节，即8位存储结构。很明显，这里只能存储指定范围的正数，且只能进行加减运算(结果也只能属于这个范围，溢出的就丢掉)。

负数怎么办呢？

显然，计算机是不认识负数的。负数也可以理解为减运算。

根据前面的丢弃溢出的运算，我们有：

(decimal) 4 + (decimal) 254 = (decimal) 2

而显然的，我们还有：

(decimal) 4 - (decimal) 2 = (decimal) 2

也就是说，在丢弃溢出的运算条件下:

+ (decimal) 254 = - (decimal) 2

哈哈，是不是说 + 254 = - 2 啊？！

不错，在这种丢弃溢出的算法中，是可以这样的。(可以理解为钟表往前拨8小时(+8)，与向后拨4小时(-4)，是一样的结果)



也就是说，在存储范围内，如果 a + b = "模"，那么，在丢弃溢出的运算条件下： + a = - b；- a = + b

那么，我们就可以直接用 + 254 表示 - 2 啦！(因为它们在运算中的效果是一样的嘛！)

从而 (binary) 1111 1110，既可以表示 + 254, 也可以表示 -2 喽！

可是，怎么让计算机知道，我要的值是 - 2，而不是 + 254 呢？

在前面再加个标志嘛。比如，加个 0 表示我们要取的是 + 254，加个 1 表示我们要取的是 -2。

可是我们的存储就只有8位唉！ 最后只好将存储中第一位的值拿出来作为符号位(0表示是正数，1表示是负数)，剩下的7位用来存储数值，如下：

0 000 0011

第一位 0 是符号位。结果为: 符号位 = 0，值 = (binary) 000 0011

嗯，原先8位存储结构，能存放数值为 0 => 255，现在为了支持负数，第一位用来做符号位，于是能表示的数值范围变成了 - 128 => + 127(取 1 000 0000 = - 128)。

显然，现在数值的"模"也变成了 128。与前面相同运算，与 - 2 对等的正数也变为 + 126 了。

于是，根据 - 2 = + 126，将 - 2 写成二进制：



(1). 符号保留在符号位，即，符号位 = 1 (0表示是正数，1表示是负数)

(2). 数值则直接用 + 126，即数值为 111 1110

结果：- 2 = 1 111 1110

而正数的二进制表示则简单、直观得多： + 126 = 0 111 1110



这样，只需将8位存储结构拿出第一位来表示正/负符号，我们就可以存储正/负数，并进行加减运算了(负数用对应的正数表示，反正运算结果是一样的；而减运算就是加负数嘛！)。



原码：

对任一个数，将其转换为二进制。然后在前面按"0表示是正数，1表示是负数"加一个符号位，就是原码啦！如:

(decimal) 2 的原码 = (binary) 0 000 0010

(decimal) -2 的原码 = (binary) 1 000 0010

反码：

对正数，等于其原码。

(decimal) 2 的反码 = (binary) 0 000 0010

对负数，顾名思义，就是对原码的数值的部分取反。如：

(decimal) -2 的反码 = (binary) 1 111 1101

补码：

对正数，等于其原码。

(decimal) 2 的反码 = (binary) 0 000 0001

对负数，等于反码再加1。

(decimal) -2 的反码 = (binary) 1 111 1110

明白了吧？ 这不正是前面我们用 + 126 表示出来的 - 2 的值嘛！

是的，根据前面的分析，与负数相对等的那个正数，它们绝对值的和正好等于"模"(可以理解为钟表往前拨8小时(+8)，与向后拨4小时(-4)，是一样的效果)。对一个二进制数来讲，先取反，再加1，再加上原数，正好是一个和为"模"的过程，反映到十进制上就是通过-2找+126的过程。

所以说，负数在计算机中是用补码表示的。

对于零而言，(binary) 0 000 0000 的补码为 (binary) 1 000 0000，所以就取 (binary) 1 000 0000 为 -128。所以，负数的表示范围为: - 128 => + 127。