最长串那点事儿（lis，lcs，lcis）

最长串那点事儿pascal

（最长上升子序列，最长公共子串，最长公共子序列，最长公共上升子序列）的优化与另类状态表示思路

DP中很经典的一类，又分这几小类

1.
最长（不）上升/下降

2.
最长公共子序列/串

3.
最长公共上升子序列

算法复杂度，一般就是朴素的n^2或n^3，其实很多优化，最朴素的不再叙述：

一：NlongN 最长不降系列

F是维护一个单调的序列，f[i]不为0的元素中的最大的i（即队列长度）

Program sky;

Var

i,j,m,n:longint;

function find(l,r:longint):longint;{从f中二分查找第一个大/小于(等于)a[i]的数覆盖}

begin

if l=r then exit(l);

if f[mid]…a[i] then
exit(find(l,mid)) else exit(find(mid+1,r));

end;

begin

for i:=1 to n do

if a[i]>f[tot] then begin inc(tot); f[tot]:=a[i];
end

else f[find(1,tot)]:=a[I,j];

end.

二：最长公共子串

用01矩阵可以直观表示某一位是否匹配，改变存储方式，让矩阵中的每一位转移它左上角元素的状态

If a[i]=b[j] then F[I,j]:=f[i-1,j-1]+1;否则为0，朴素二维循环

三：最长公共上升子序列

（1）朴素n^3（f[i,j]表示状态，意思是到a的前i位，b的前j位的最长值，当更新f时用第三维枚举）

program sky;

begin

readln(n); for i:=1 to n do
read(a[i]);{第一个序列}

readln(m); for i:=1 to m do
read(b[i]);{第二个序列}

for
i:=1 to n do

for j:=1 to m do

begin

if a[i]<>b[j] then f[i,j]:=f[i-1,j] else{分情况，当不等时不会更新ans，所以直接转移下来供下面用}

begin

f[i,j]:=1;

for k:=0 to j-1 do if a[i]>b[k] then f[i,j]:=max(f[i,j],f[i-1,k]+1);

end;

end;

for
i:=1 to m do f[n,m]:=max(f[n,m],f[n,i]);{最优解不一定在最后，还有一种写法就是f[i,j]转移f[i-1,j],f[i,j-1]的最大值}

writeln(f[n,m]);

end.

（2）优化至n^2（用k记录位置，压缩维度的两种方法之一，【另一种是改变状态表示】）

for i:=1 to n do

begin

maxa:=0;

for j:=1 to m do{和n^3的不同，因为它会判断f[j]>maxa这一状态转移，所以不能f[j]:=max(f[j],f[j-1])，也就是不能把左边的状态转移过来}

begin{空间上也采用压缩，这行状态之和前一行有关，所以直接覆盖}

if (a[i]>b[j]) and (f[j]>maxa) then maxa:=f[j];{注意if语句中的else，用else的话，if就不能随便嵌套了···}

if (a[i]=b[j]) then f[j]:=max(f[j],maxa+1);

end;

end;

for
i:=1 to m do f[m]:=max(f[m],f[i]);

writeln(f[m]);

四：特殊最长公共子序列的nlogn算法（若两序列都没有重复元素，且元素不过大，把两序列各看做一个集合时，两集合相等，这时用一种新的状态表示方法）

这种新的状态表示方法就是记录第二个串中元素

（1）1D/1D

利用答案f数组的单调性，即后面的状态一定大于等于或小于等于前面的，ans成一个单调变化如下

111111111111111111111111111111111111111111111111111

111111111111222222222222222222222222222222222222222

111111111111222222222222222222222233333333333333333

不可能出现

111111111111111111111113333333333333333333322222222

这时存储答案的就不是f的值而是下标了，值表示左右端点

F[k].l与f[k].r分别表示ans为k的区间左右端点

代码和nlogn的最长上升完全一样，思想变了，变成找一个已经确定的位置被覆盖的最大值，并用它的位置更新可以覆盖它的最大的一个数的下一个数

（2）一个新的定义状态的方法，代码不变，不写了。

（3）根据题目性质转化成熟悉的问题

可以把元素在第二个序列中的位置按照第一个序列的顺序记录下来，求最长上升

Ep：2 1 3
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1 3 2
4 5

V： 3 1
2 4 5

对v求一次最长上升用nlogn可以求解