动态规划解整数划分

算法思路：

n = n1 + n2 + n3 + n4 + .... + nk

(n1>=n2>=n3>=....>=nk)，从大到小排列后，可以避免陷入数值大小排序顺序的困境中。这样，在下面的过程，我们可以并不关心数值大小的排列，只关心组合方案数。

状态表示：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)

状态转移：

(1) q(n,1) = 1,n>=1

当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分方式，即 n = 1+1+1+..+1 (n个1相加)。

(2)q(n,m) = q(n,n),m>n

最大加数n1实际上不能大于n。因此q(1,m)=1。

(3)q(n,n) = 1+q(n,n-1)

正整数n的划分由n1=n的划分和n1<=n-1的划分组成。

(4)q(n,m) = q(n,m-1) + q(n-m,m),n>m>1

正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1<=m-1的划分组成。

另一个思路有点相似的问题：

1-100中,

求:5个不同数的和小于100的不重复组合的个数.

设立一个数组A[5][100][100]

A[i][j][k]表示用i个[j, 100]之间的不同的数，最小数为j且和小于k的组合有多少种

//假设数组下标从1开始

则有

A[i][j][k] = SIGMA{ A[i-1][m][k-j] } m属于[j+1, k]

e.g.

A[5][1][100]

表示所求组合中，最小的那个数为1的情况

那么其余四个数中最小的至少是2，并且那四个数和小于99

所以A[5][1][100] = A[4][2][99] + A[4][3][99] + ...