通过余弦定理从点积的定义推出点积的公式

通过余弦定理从点积的定义推出点积的公式

首先证明余弦定理:

有边为a,b,c,对应夹角为a_angle,b_angle,c_angle

分别从定点向对应边作对角线可以发现如下关系成立:

(1)

a=b*cos c_angle + c * cos b_angle

(2)

b=a*cos c_angle + c * cos a_angle

(3)

c=a*cos b_angle + b * cos a_angle

对(1)*a有:

a^2=a*b*cos c_angle + a*c * cos b_angle

同样有:

b^2=b*a*cos c_angle + b*c * cos a_angle

c^2=c*a*cos b_angle + c*b * cos a_angle

比较上面三个,可以发现有:

a^2+b^2={a*b*cos c_angle + a*c * cos b_angle } + {b*a*cos c_angle + b*c * cos a_angle}

GO

移项有:

a^2+b^2={a*b*cos c_angle + b*a*cos c_angle}+ { a*c * cos b_angle + + b*c * cos a_angle}

GO

a^2+b^2=2*a*b*cos c_angle + c^2

现在继续往下证明:

假设a,b,c的在三维坐标下

(4)

a^2=a1^2+a2^2+a3^2

同样有:

(5)

b^2=b1^2+b2^2+b3^2

(6)

c^2=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2+(a3-b3)^2

对(6)进行化简有:

c^2=a1^2+a2^2+a3^2+ b1^2+b2^2+b3^2 - 2*a1*b1-2*a2*b2-2*a3*b3

综合(4),(5)有:

a^2+b^2-2*a*b*cos c_angle=a^2+b^2 - 2*a1*b1-2*a2*b2-2*a3*b3

Go

2*a*b*cos c_angle=2*a1*b1+2*a2*b2+2*a3*b3

Go

a*b*cos c_angle=a1*b1+a2*b2+a3*b3

而点积的定义形式为:point_a*point_b=a1*b1+a2*b2+a3*b3

从而得到公式point_a*point_b=a*b*cos c_angle.