球类称重问题的一般解法

最近与朋友们讨论球类称重问题的解法，颇有启发，将讨论成果与朋友们分享。

首先球类问题中有两个引理：

引理1:

(1) 已知一个球为标准球。

(2) 一个球为非标准球，但是不知道它的轻重。

(3) 用天平称重k次，最多可以从n个球中找出非标准球，并且可以确定它是轻了还是重了。

(4) n = 1 + 3 + ... + 3^{k-2}+3^{k-1}。

引理2:

(1) 一个球为非标准球，并且我们已知它是轻了或是重了。

(2) 用天平称重k次，最多可以从n个球中找出非标准球。

(3) n = 3^{k}。

例题1: 现在有4个球，一个标准球，一个非标准球并且不知道轻或重，用2次找出非标准球并且确定轻或重。

解答：假设标准球为1,其他三个球为2,3,4。那么我们首先称2,3.

If 2==3

那么我们再称1,4, 如此便可确定非标准球是4并且知道轻或重。

If 2>3

此时我们知道2或者3是非标准球，并且2重或是3轻。那么我们再称1,2，如果 1==2，那么说明3是非标准球并且轻了。否则如果1<2,那么说明2是非标准球并且重了。

If 2<3

情况和上面的一种正好相反。

例题2：现在有13个球，一个标准球，一个非标准球并且不知道轻或重，用3次找出非标准球并且确定轻或重。

解答: 我们给所有球标号,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。假设6号是标准球，那么我们分两组

A:1 2 3 4 5

B: 6 7 8 9 10

If A==B

那么我们知道11 12 13中有非标准球，那么我们加入6标准球，就是转换为在4个球中称两次找到非标准球，并且知道轻或重，解决。

If A > B

那么我们将1 2 和 7 8 9 10放一起。并且我们知道1 2 重或7 8 9 10 轻。 再分两组

C: 1 7 8

D: 2 9 10

If C>D

那么1重或是9 10轻，这时我们称重9 10，如果9==10，那么1重。如果9<10，那么9轻，如果9>10，那么10轻。

If C<D

那么2重或是7 8 轻，原理同上。

If C==D

那么3 4 5重, 如果3==4，那么5重。如果3>4，那么3重，如果3<4，那么4重。

If A < B

那么我们仍然将1 2和7 8 9 10放一起。并且我们知道1 2 轻或是7 8 9 10 重。再分两组

E: 1 7 8

F: 2 9 10

If E>D

那么7 8重或是2轻，我们称7 8，如果7==8，那么2轻，如果7>8，那么7重，反之8重。

If E<D

那么1轻或是9 10重，原理同上。

If E=D

那么3 4 5轻，我们也可以用一次找出轻的非标准球。

例题3: 现在有40个球，一个标准球，一个非标准球并且不知道轻或重，用4次找出非标准球并且确定轻或重。

根据例题1,2的启发，我们可以将球分为3组 A(14) B(14) C(12)并且将标准球放入B重。

If A==B

我们可以根据例题2解答。

If A > B

那么我们拿出A中的五个A(5)与B(13)（除去标准球）放一起。并且分成三份

C: A(1 2)B(6 7 8 9)

D: A(3 4)B(10 11 12 13)

E: A(5)B(14 15 16 17 18)

If C==D，那么A(5)重或是B(14 15 16 17 18)轻。

F: A(5)B(14)

G: B(15)B(16)

H: B(17)B(18)

If G==H, 那么我们拿一个标准球和A(5)比，如果A(5)重，那么A(5)就是非标准球，否则B(14)就是非标准并且轻。

If G>H, 那么我们比B(17) B(18)，轻的是非标准球。

If G<H, 那么我们比B(15) B(16)，轻的是非标准球。

If C<D，那么A(3 4)重，或是B(6 7 8 9)轻。

I: A3 B6

J:A4 B7

K:A5 B8

If I==J, 那么我们拿一个标准球和A5比，如果A5重，A5是非标，否则B8是非标。

If I>J，那么我们拿标准球和A3比，如果A3重，A3是非标，否则B7是非标并且轻。

If I<J，那么我们拿标准球和A4比，如果A4重，A4是非标，否则B6是非标并且轻。

其他情况同理可以推出。

所以总结出来有几点启示：

(1) 当为引理1的条件时，我们将标准球放入，分成两份。

(2) 其他情况下不放入标准球，分成三份，并且保证其中一份的数目是3^{k}，k为当前剩下的次数。