n个平面最多将空间划分成几部分
2011-09-19 15:09
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题目:n个平面最多将空间划分成几部分?
题目:n个平面最多将空间划分成几部分?
这个题目有标准经典解法的。 先看二维情况,也就是一个平面中的n条直线,最多把平面划分成多少部分? 解: 记n条直线最多把平面划分成f(n)个部分。 原始数值:f(0)=1;(也可以从f(1)=2开始) 递推公式: 平面中已有n-1条直线,那么新加一条直线,与原(n-1)条直线最多有n-1个交点,这(n-1)个交点把新增直线划分成n个部分,整个平面新增n个部分。 f(n)=f(n-1)+n(n∈Z+)。 最后的结果是f(n)=[n(n+1)/2]+1。 再看三维的情况,计算方法类似。 解: 记n个平面最多把整个空间划分成g(n)个部分。 原始数值:g(0)=1; 递推公式: 整个空间中已有n-1个平面,那么新加一个平面,与原(n-1)个平面最多有(n-1)条交线。这(n-1)条交线最多把新增平面划分成f(n-1)=[n(n-1)/2]+1个部分,整个空间新增f(n-1)=[n(n-1)/2]+1个部分。 g(n)=g(n-1)+f(n-1)(n∈Z+)。 最后的结果是g(n)=[n(n+1)(n-1)/6]+n+1。 g(10)=176
PS:5个平面最多能把空间划分成几个部分?答案就是g(5)=[5*(5+1)(5-1)/6]+5+1=26
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