Mathematica程序——计算函数对应图像所围成的面积

 【问题】试求如下曲线所围成图形的面积。

x^2 + y^2 ≤ 16; x^2/36 + y^2  ≤ 1; (x - 2)^2 + (y+1) ≤ 9;
第一种算法：

Area[x1_, x2_, y1_, y2_, step_] :=
Block[{nx, ny, i, j, xx, yy, s = 0},
nx = IntegerPart[(x2 - x1)/step];
ny = IntegerPart[(y2 - y1)/step];
For[i = 1, i ≤ nx, i++,
For[j = 1, j ≤ ny, j++, xx = x1 + i*step; yy = y1 + j*step;
If[xx^2 + yy^2 ≤ 16 && xx^2/36 + yy^2 ≤ 1 && (xx -
2)^2 + (yy + 1)^2 ≤ 9, s = s + step^2]]];
Return[s]]

【运行结果】

Area[-2, 6, -2, 2, 0.01]

8.8312

Area[-1, 4, -1, 1, 0.001]

8.83922

第一种方法的思想很简单，就是细分矩形区域，将落在目标区域内的小矩形的面积进行累加
面积的近似程度与细分的精度step有关，算法较为笨拙，计算时间长，算法复杂度为O(1/step^2)。

第二种方法：基于概率思想的蒙特卡罗算法的启迪

AreaMC[x1_, x2_, y1_, y2_, n_] :=
Block[{rx, ry, i, s, calin = 0},
For[i = 1, i ≤ n, i++,
rx = Random[Real, {x1, x2}];
ry = Random[Real, {y1, y2}];
If[rx^2 + ry^2 ≤ 16 && rx^2/36 +
ry^2 ≤ 1 && (rx - 2)^2 + (ry + 1)^2 ≤ 9, calin = calin + 1]];
s = (x2 - x1)*(y2 - y1)*N[calin/n];
Return[s]]

 

AreaMC[-2, 6, -2, 2, 1000000]

8.85734

 

该算法是近似算法，算法的复杂度依赖于随机产生的点的个数n，复杂度为O(n)