约瑟夫环(Josephus)问题的C++算法模拟

问题描述：编号为1,2，………，n的n个人按顺时针方向围坐一圈，每人持有一个密码（正整数）。一开始任选一个正整数作为报数上限值m，从第一个人开始按顺时针方向自1开始顺序报数，报到m时停止报数。报m的人出列，将他的密码作为新的m值，从他在顺时针方向上的下一个人开始重新从1报数，如此下去，直至所有人全部出列为止。试设计一个程序求出出列顺序。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2，并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n。

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f
。

递推公式：

f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f
+1。

程序如下：

#include <iostream>
using namespace std;
/*人物的定义，包含自己的编号，所持的密码，和指向下一个的指针*/
struct Person
{
int num;
int cipher;
Person * next;
};
Person person[7];
void Circle();
void main()
{
Circle();
int m;//开始时输入的起始密码值
cin>>m;
Person * currentPerson;//方便对人物链表的搜索
Person * prePerson;
currentPerson=&person[0];//开始时将指针指向人物的第一个和最后一个
prePerson=&person[6];
while(currentPerson!=prePerson)
{
for(int i=1;i<m;i++)//移动指针，使其指向需要移出的人物
{
prePerson=currentPerson;
currentPerson=currentPerson->next;
}
m=currentPerson->cipher;
cout<<currentPerson->num<<"  ";//输出人物的编号
prePerson->next=currentPerson->next;//修改链表，使选定的人物移出
currentPerson=prePerson->next;
}
cout<<currentPerson->num;//输出最后一个人物的编号
cin>>m;
}
void Circle()//对人物的属性进行编辑
{
for(int i=0;i<7;i++)
{
person[i].num=i+1;
person[i].next=&person[i+1];
}
person[6].next=&person[0];//使最后一个人物的指针指向第一个，构成循环链表
person[0].cipher=3;
person[1].cipher=1;
person[2].cipher=7;
person[3].cipher=2;
person[4].cipher=4;
person[5].cipher=8;
person[6].cipher=4;
}

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。
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