图解堆排序Heap Sort算法
2011-09-11 00:00
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在程序设计相关领域,堆(Heap)的概念主要涉及到两个方面:
一种数据结构,逻辑上是一颗完全二叉树,存储上是一个数组对象(二叉堆)。
垃圾收集存储区,是软件系统可以编程的内存区域。
本文所说的堆,指的是前者。
堆排序的时间复杂度是O(nlgN),与快速排序达到相同的时间复杂度。但是在实际应用中,我们往往采用快速排序而不是堆排序。这是因为快速排序的一个好的实现,往往比堆排序具有更好的表现。堆排序的主要用途,是在形成和处理优先级队列方面。另外,如果计算要求是类优先级队列(比如,只要返回最大或者最小元素,只有有限的插入要求等),堆同样是很适合的数据结构。
假设节点I是数组A中下标为i的节点。
Parent(i) : return Floor(i/2); //I的父节点下标,Floor(i)表示比i小的最大整数。
Left(i) : return 2*i; //I的左子节点
Right(i) : return 2*i+1; //I的右子节点
含有n个元素的堆A的高度是: Floor(lgn)。
保持堆的性质。假设数组A和下标i,假定以Left(i)和Right(i)为根结点的左右两棵子树都已经是最大堆,节点i的值可能小于其子节点。调整节点i的位置。
BuildMaxHeap( A ):
从一个给定的数组建立最大堆。子数组A[ floor(n/2)+1 .... ... n]中的元素都是树的叶节点(完全二叉树的基本性质)。从索引 ceiling(n/2)开始一直到1,对每一个元素都执行MaxHeapify,最终得到一个最大堆。
堆排序 HeapSort( A ):
堆排序算法的基本思想是,将数组A创建为一个最大堆,然后交换堆的根(最大元素)和最后一个叶节点x,将x从堆中去掉形成新的堆A1,然后重复以上动作,直到堆中只有一个节点。
优先级队列算法-增加某元素的值(优先级) : HeapIncreaseKey( A, i, key )
增加某一个元素的优先级后(元素的值),该元素应该向上移动,才能保持堆的性质。
优先级队列算法-插入一个元素: Insert( S, x ) 将x元素插入到优先级队列S中。
主要思路是,将堆的最后一个叶节点之后,扩展一个为无穷小的新叶节点,然后增大它的值为x的值。
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下面也是C语言的实现,稍微改动了下:
一种数据结构,逻辑上是一颗完全二叉树,存储上是一个数组对象(二叉堆)。
垃圾收集存储区,是软件系统可以编程的内存区域。
本文所说的堆,指的是前者。
堆排序的时间复杂度是O(nlgN),与快速排序达到相同的时间复杂度。但是在实际应用中,我们往往采用快速排序而不是堆排序。这是因为快速排序的一个好的实现,往往比堆排序具有更好的表现。堆排序的主要用途,是在形成和处理优先级队列方面。另外,如果计算要求是类优先级队列(比如,只要返回最大或者最小元素,只有有限的插入要求等),堆同样是很适合的数据结构。
基础知识
堆一般用数组表示,比如数组A数组的长度Length(A),堆在数组中的元素个数HeapSize(A)。一般说来,HeapSize(A) <= Length(A),因为数组A当中可能有一些元素不在堆中。假设节点I是数组A中下标为i的节点。
Parent(i) : return Floor(i/2); //I的父节点下标,Floor(i)表示比i小的最大整数。
Left(i) : return 2*i; //I的左子节点
Right(i) : return 2*i+1; //I的右子节点
含有n个元素的堆A的高度是: Floor(lgn)。
堆的基本操作
MaxHeapify( A, i ):保持堆的性质。假设数组A和下标i,假定以Left(i)和Right(i)为根结点的左右两棵子树都已经是最大堆,节点i的值可能小于其子节点。调整节点i的位置。
BuildMaxHeap( A ):
从一个给定的数组建立最大堆。子数组A[ floor(n/2)+1 .... ... n]中的元素都是树的叶节点(完全二叉树的基本性质)。从索引 ceiling(n/2)开始一直到1,对每一个元素都执行MaxHeapify,最终得到一个最大堆。
堆排序 HeapSort( A ):
堆排序算法的基本思想是,将数组A创建为一个最大堆,然后交换堆的根(最大元素)和最后一个叶节点x,将x从堆中去掉形成新的堆A1,然后重复以上动作,直到堆中只有一个节点。
优先级队列算法-增加某元素的值(优先级) : HeapIncreaseKey( A, i, key )
增加某一个元素的优先级后(元素的值),该元素应该向上移动,才能保持堆的性质。
优先级队列算法-插入一个元素: Insert( S, x ) 将x元素插入到优先级队列S中。
主要思路是,将堆的最后一个叶节点之后,扩展一个为无穷小的新叶节点,然后增大它的值为x的值。
堆排序实现原理
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堆排序的C语言实现
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> void HeapSort(int num[],int size); void BuildHeap(int num[] ,int size); void PercolateDown(int num[] , int index,int size); void PrintHeap(const char* strMsg,int array[],int nLength); void Swap(int num[] , int v, int u); int main(int argc, char *argv[]) { int data[13]={8,5,4,6,13,7,1,9,12,11,3,10,2}; HeapSort(data,13); system("PAUSE"); return 0; } void HeapSort(int num[] ,int size) { int i; int iLength=size; PrintHeap("Befor Sort:",num,iLength); BuildHeap(num,size);// 建立小顶堆 for (i = iLength - 1; i >= 1; i--) { Swap(num, 0, i);// 交换 size--;// 每交换一次让规模减少一次 PercolateDown(num, 0,size);// 将新的首元素下滤操作 PrintHeap("Sort Heap:",num,iLength); } } // 建堆方法,只需线性时间建好 void BuildHeap(int num[] ,int size) { int i; for (i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {// 对前一半的节点(解释为“从最后一个非叶子节点开始,将每个父节点都调整为最小堆”更合理一些) PercolateDown(num, i,size);// 进行下滤操作 PrintHeap("Build heap:",num,size); } } // 对该数进行下滤操作,直到该数比左右节点都小就停止下滤 void PercolateDown(int num[] , int index,int size) { int min;// 设置最小指向下标 while (index * 2 + 1<size) {// 如果该数有左节点,则假设左节点最小 min = index * 2 + 1;// 获取左节点的下标 if (index * 2 + 2<size) {// 如果该数还有右节点 if (num[min] > num[index * 2 + 2]) {// 就和左节点分出最小者 min = index * 2 + 2;// 此时右节点更小,则更新min的指向下标 } } // 此时进行该数和最小者进行比较, if (num[index] < num[min]) {// 如果index最小, break;// 停止下滤操作 } else { Swap(num, index, min);// 交换两个数,让大数往下沉 index = min;// 更新index的指向 } }// while } // 给定数组交换两个数的位置 void Swap(int num[] , int v, int u) { int temp = num[v]; num[v] = num[u]; num[u] = temp; } void PrintHeap(const char* strMsg,int array[],int nLength) { int i; printf("%s",strMsg); for(i=0;i<nLength;i++) { printf("%d ",array[i]); } printf("\n"); }
下面也是C语言的实现,稍微改动了下:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> void HeapSort(int num[],int size); void BuildHeap(int num[] ,int size); void PercolateDown(int num[] , int index,int size); void PrintHeap(const char* strMsg,int array[],int nLength); void Swap(int num[] , int v, int u); int main(int argc, char *argv[]) { /* 将数组看成完全二叉树的中序遍历结果的线性存储 */ int data[13]={8,5,4,6,13,7,2,9,12,11,3,10,1}; HeapSort(data,13); system("PAUSE"); return 0; } void HeapSort(int num[] ,int size) { int i; int iLength=size; PrintHeap("Befor Sort:",num,iLength); BuildHeap(num,size);// 建立小顶堆 for (i = iLength - 1; i >= 1; i--) { Swap(num, 0, i);// 交换 size--;// 每交换一次让规模减少一次 PercolateDown(num, 0,size);// 将新的首元素下滤操作 PrintHeap("Sort Heap:",num,iLength); } } /* 建堆方法,只需线性时间建好; 建堆的结果:数组的第一个元素(即树根)是所有元素中的最小值,索引小于等于size/2-1的其它元素(即其它非叶子节点)的值都是其所在子树的最小值 */ void BuildHeap(int num[] ,int size) { int i; //从最后一个非叶子节点开始,对每个非叶子节点进型最小根调整,保证每个根节点都是其子树中的最小值 for (i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) { PercolateDown(num, i,size);// 进行下滤操作 PrintHeap("Build heap:",num,size); } } /* 对该数进行下滤操作,直到该数比左右节点都小就停止下滤。 即对某个根节点的值进行位置下降调整,使该值比其左右子节点都小; 若该节点是叶子节点,则无法while循环 */ void PercolateDown(int num[] , int index,int size) { int min;// 设置最小指向下标 while (index * 2 + 1<size) {// 如果该数有左节点,则假设左节点最小 min = index * 2 + 1;// 获取左节点的下标 if (index * 2 + 2<size) {// 如果该数还有右节点 if (num[min] > num[index * 2 + 2]) {// 就和左节点分出最小者 min = index * 2 + 2;// 此时右节点更小,则更新min的指向下标 } } // 此时进行该数和最小者进行比较, if (num[index] < num[min]) {// 如果index最小, break;// 停止下滤操作 } else { Swap(num, index, min);// 交换两个数,让大数往下沉 index = min;// 更新index的指向 } }// while } // 给定数组交换两个数的位置 void Swap(int num[] , int v, int u) { int temp = num[v]; num[v] = num[u]; num[u] = temp; } void PrintHeap(const char* strMsg,int array[],int nLength) { int i; printf("%s",strMsg); for(i=0;i<nLength;i++) { printf("%d ",array[i]); } printf("\n"); }
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