【动态树初探】link-cut tree

转载自：

Evil.livE

很愚昧的以为动态树是一种数据结构，现在才知道动态树是是一类问题（Dynamic Tree Problems）。

spoj上有一系列关于树的很有趣的题目（qtree1~4），和树链剖分、动态树有关，所以就狠下心的研究了一番，多亏找到了一篇好论文《qtree解法的一些研究 by yangzhe》，解决动态树问题的数据结构叫link-cut tree（又是tarjan发明的，无限崇拜！！），看懂了思想以后便抱着视死如归的心态编了起来（拿hnoi2010的bounce来练手），因为看了标程，7kb、8kb、7kb，=、=。

首先说说树链剖分，差不多就是link-cut tree 的静态版（静态树！？），前提是树的形状不发生改变。树中的重边的定义就是每个点向他最大的儿子（子树大小最大）连的边，其他的边就是轻边。可以证明一个点到根节点经过的轻边数不超过logN，证明：

定义size（i）为以i为根的子树大小，

若 i 和 fa(i) 之间连的是轻边

也就是 存在 j∈son(fa(i))，size(j)≥size(i)

又∵ size(fa(i))≥size(i)+size(j),

∴size(fa(i))>2*size(i).

每走一条轻边节点数都会增大一倍，那当然不可能超过logN条轻边咯。

对于一串连续的重边，我们就把它压缩为一条重路径。

如果这棵树的形状不改变，那么重路径自然也不会发生变化，那我们可以用线段树或者是虚二叉树来维护，若会改变，则用splay tree维护（以深度为关键字）。

在实际link-cut tree的编写中并不要考虑谁是重边谁是轻边，假设你访问了某一个点，就把它到父亲的边全改为重边就可以了，可以证明也是logN的（证明有点懵。。）。

回顾hnoi2010的弹飞绵羊，这正是一个动态树问题（哎，我靠怎么那时候不会捏？），要求支持这样两个操作：

1.询问某个点的深度。

2.改变某个点的父亲。

记得之前用块状链表水过了，速度还不错，不过看来 link-cut tree 还是以绝对优势压倒了：

块状链表：



link-cut tree



这次还给了我一个教训，不要被标程吓到了。。。可能牛们为了让人更容易看懂才编长一点的吧，却着实把我这种小白吓到了。。。

自己编起来感觉也很舒服，74行，主要注意的还是旋转时候的父亲的转化。

（裸的splay不解释。。。都是想想写写胡编乱抽的）代码：

view
plain

program link_cut_tree; const maxn=200005;

var

root:array[0..maxn] of boolean;

l,r,fa,s:array[0..maxn] of longint;

n,i,task,j,z,k:longint;

procedure left(i:longint); begin

z:=r[i];r[i]:=l[z];fa[r[i]]:=i;l[z]:=i;

if i=l[fa[i]] then l[fa[i]]:=z else

if i=r[fa[i]] then r[fa[i]]:=z; //!!

fa[z]:=fa[i];fa[i]:=z;

root[z]:=root[i] xor root[z];

root[i]:=root[i] xor root[z];

s[i]:=s[l[i]]+s[r[i]]+1;

s[z]:=s[l[z]]+s[r[z]]+1;

end;

procedure right(i:longint); begin

z:=l[i];l[i]:=r[z];fa[l[i]]:=i;r[z]:=i;

if i=l[fa[i]] then l[fa[i]]:=z else

if i=r[fa[i]] then r[fa[i]]:=z; //!!

fa[z]:=fa[i];fa[i]:=z;

root[z]:=root[i] xor root[z];

root[i]:=root[i] xor root[z];

s[i]:=s[l[i]]+s[r[i]]+1;

s[z]:=s[l[z]]+s[r[z]]+1;

end;

procedure splay(i:longint); begin

while not root[i] do

if i=l[fa[i]] then right(fa[i]) else left(fa[i]);

end;

procedure access(i:longint); begin

splay(i);

while fa[i]<>0 do begin

splay(fa[i]);

z:=fa[i];

root[r[z]]:=true;root[i]:=false;

r[z]:=i;

s[z]:=s[l[z]]+s[r[z]]+1;

splay(i);

end;

end;

begin

assign(input,'input.txt');reset(input);

assign(output,'output.txt');rewrite(output);

readln(n);

for i:=1 to n do begin

read(fa[i]);inc(fa[i],i);

if fa[i]>n then fa[i]:=n+1;

end;

for i:=1 to n+1 do s[i]:=1;

fillchar(root,sizeof(root),true);

readln(task);

for task:=1 to task do begin

read(z);

if z=1 then begin

readln(i);inc(i);

access(i);

writeln(s[l[i]]);

end else begin

readln(j,k);inc(j);

splay(j);

fa[l[j]]:=fa[j];

root[l[j]]:=true;

l[j]:=0;s[j]:=s[r[j]]+1;

fa[j]:=j+k;

if fa[j]>n then fa[j]:=n+1;

end;

end;

close(input);close(output);

end.