斯特林公式的推导(简单法则)
2011-09-01 20:25
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斯特林公式的推导(简单法则)
此处不使用瓦利斯公式以及其他阶乘定理,而仅采用最简单的微积分法则。
![](http://hiphotos.baidu.com/drcrless/pic/item/5c1494ef0947f0abce1b3eaf.jpg)
我们知道,对于自然数n,有n!=1×2×3×……×n
那么lnn!=ln(1×2×3×……×n)=ln1+ln2+ln3+……+lnn
记F(n)=lnn!,则F(n)=∑lnk
而此求和没有特定公式,只能靠近似的算法。
如图,是xOy坐标系当中y=lnx的函数图像。其中,深色和浅色的部分面积之和构成了F(n)的值。而下一步目
标就是要计算这部分的面积。
浅色的部分可以通过积分∫lnxdx来得到,深色的部分则是不规则曲边三角形。如果把它们看成直角三角形的话,那么有
总面积
S=1/2(ln2-ln1)+1/2(ln3-ln2)+1/2(ln4-ln3)+……+1/2[lnn-ln(n-1)]
=1/2(lnn-ln1)
=1/2×lnn
所以
![](http://hiphotos.baidu.com/drcrless/pic/item/4c33abc394b85d11b319a8b0.jpg)
所以
![](http://hiphotos.baidu.com/drcrless/pic/item/8182ed5066bb91181038c2bf.jpg)
斯特林公式简易公式为
![](http://hiphotos.baidu.com/drcrless/pic/item/b226d954c1dac51cd10906ba.jpg)
对比两式,√2π≈2.506628,e≈2.71828,两式相似度较高。而斯特林公式简易式为亏式,此式为盈式。
来源:http://hi.baidu.com/drcrless/blog/item/c0f10ed10760f9dd572c84a9.html
此处不使用瓦利斯公式以及其他阶乘定理,而仅采用最简单的微积分法则。
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我们知道,对于自然数n,有n!=1×2×3×……×n
那么lnn!=ln(1×2×3×……×n)=ln1+ln2+ln3+……+lnn
记F(n)=lnn!,则F(n)=∑lnk
而此求和没有特定公式,只能靠近似的算法。
如图,是xOy坐标系当中y=lnx的函数图像。其中,深色和浅色的部分面积之和构成了F(n)的值。而下一步目
标就是要计算这部分的面积。
浅色的部分可以通过积分∫lnxdx来得到,深色的部分则是不规则曲边三角形。如果把它们看成直角三角形的话,那么有
总面积
S=1/2(ln2-ln1)+1/2(ln3-ln2)+1/2(ln4-ln3)+……+1/2[lnn-ln(n-1)]
=1/2(lnn-ln1)
=1/2×lnn
所以
![](http://hiphotos.baidu.com/drcrless/pic/item/4c33abc394b85d11b319a8b0.jpg)
所以
![](http://hiphotos.baidu.com/drcrless/pic/item/8182ed5066bb91181038c2bf.jpg)
斯特林公式简易公式为
![](http://hiphotos.baidu.com/drcrless/pic/item/b226d954c1dac51cd10906ba.jpg)
对比两式,√2π≈2.506628,e≈2.71828,两式相似度较高。而斯特林公式简易式为亏式,此式为盈式。
来源:http://hi.baidu.com/drcrless/blog/item/c0f10ed10760f9dd572c84a9.html
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