面试智力题：天平称球

题目：现有12个球，其中有一个球和其他的球重量不一样，但是外形还是一样的，现在要求你用一个天平在只称3次的情况下找出不一样的这个球来?如果换成13个球那又怎么样呢？

题目自己很早以前就看过，但是答案当时没怎么想出来，看过网上答案。刚才一个同学在群上讨论，发现自己还是通过网上找答案，没有想出来。从网上找到正解，供自己学习。

12球：将球分为a b c d； e f g h； i j k l 三组。

第一次称量，比较 abcd efgh

情形一：两者重量相等，此时说明答案在ijkl中。

称量ij，如果相等,说明答案在kl中。拿k与a比较，如果相等，答案为l；如果不等，答案为k。

如果不等，说明答案在ij中。拿i与a比较，如果相等，答案为j；如果不等，答案为i。

情形二：abcd轻。

在efgh中取出fgh，替换掉abcd中的bcd。 在ijkl中取出jkl，补充到原来fgh的位置。

如果afgh轻，说明答案为a或e。称量ab，如果相等，答案为e；如果不等，答案为a。

如果afgh重，说明答案在fgh中。称量fg，如果相等，答案为h；如果不等，重者为答案。

如果一样重，答案在bcd中。称量bc，如果相等，答案为d；如果不等，轻者为答案。（不是很理解为什么不等轻者为答案）

情形三：abcd重。

在efgh中取出fgh，替换掉abcd中的bcd。 在ijkl中取出jkl，补充到原来fgh的位置。

如果afgh重，答案为a或e。称量ab，如果相等，答案为e；如果不等，答案为a。

如果afgh轻，答案在fgh中。称量fg，如果相等，答案为h；如果不等，轻者为所求。

如果一样重，答案在bcd中。称量bc，如果相等，答案为d；如果不等，重者为答案。

类似的要求区分十三个球中质量不同的一个，

13球：将13球分为4球,4球,5球三组.

第一次称两个4球组,若不相等,则5球组全是标准球.然后就可以用12球类似的办法解决了；

若两个4球组相等,则异常球存在于5球组.5球编号为abcde,从两个4球组中任取一个作为标准球,编号f.

第二次称ab&cf,若ab=cf,则异常球在de中,abc均为标准球.第三次称a&d,若相等则e为异常球,若不等则d为异常球.

若ab>cf,则异常球在abc中(a重b重或c轻),de为标准球.第三次称a&b,若相等则c为异常球,若不等则重者为异常球.

若ab<cf,则异常球在abc中(a轻b轻或c重),de为标准球.第三次称a&b,若相等则c为异常球,若不等则轻者为异常球.

（在这里，我称和其它重量不同的一个球为异常球，其余为标准球）

思考1：

在不知道异常球是轻是重的情况下，称2次最多可以从几球中找出异常球？

结论1:如果没有标准球，称2次最多可以从4球中找出异常球（设这4球标号abcd）。

其称法如下：

第一次称a&b, 若a=b,则异常球在cd中,ab均为标准球.第二次称a&c,若相等则d为异常球,若不等则c为异常球.

若a>b,则异常球在ab中(a重或b轻),cd为标准球.第二次称a&c,若相等则b为异常球,若不等则a为异常球.

若a<b,则异常球在ab中(b重或a轻),cd为标准球.第二次称a&c,若相等则b为异常球,若不等则a为异常球.

结论2:如果有标准球(设为f)，称2次最多可以从5球中找出异常球（设这5球标号abcde）。

其称法如下：

第一次称ab&cf,若ab=cf,则异常球在de中,abc均为标准球.第二次称a&d,若相等则e为异常球,若不等则d为异常球.

若ab>cf,则异常球在abc中(a重b重或c轻),de为标准球.第二次称a&b,若相等则c为异常球,若不等则重者为异常球.

若ab<cf,则异常球在abc中(a轻b轻或c重),de为标准球.第二次称a&b,若相等则c为异常球,若不等则轻者为异常球.

思考2：

在知道异常球是轻是重的情况(设异常球重)下，称2次最多可以从几球中找出异常球？

结论:称2次最多可以从9球中找出异常球。

其称法如下：

将9球分为3组,每组3个,任取两组称第一次.如果相等异常球在没称的一组中,如果不等则在重的一组中.

将选出的3球任取两个来称,若相等则另一个为异常球,若不等则重者为异常球.（网上一人的评论：不过我感觉他也没有给出很好的证明他的结论是正确的，虽然我举不出反例）

小结：计算机专业学生看到此题目，马上联想到二分。从题目分析可以看到，有时二分不是最优的，这时要考虑三分，四分以及不等分。