斐波那契数列性质

　不经意间，斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。比如钢琴上白键的8，黑键上的5都是斐波那契数，因该把它看做巧合还是规律呢？

　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……

　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）

　　 如果你看到有这样一个题目：

　　某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故

　　作惊讶地问你：为什么64=65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积

　　确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

　　斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：

　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1。

　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)。

　　3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1。

　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)。

　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1。

　　6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)。

　　利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。

　　怎样实现呢？伪代码描述一下?

　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)。

　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。

　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)。

　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1] 11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.

在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列

　　



将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……

　　公式表示如下：

　　f(1)=C(0,0)=1 。

　　f(2)=C(1,0)=1 。

　　f(3)=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2 。

　　f(4)=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3 。

　　f(5)=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5 。

　　f(6)=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8 。

　　F(7)=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13 。

　　……

　　F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)

斐波那契数列的整除性与素数生成性

　　每3个数有且只有一个被2整除，

　　每4个数有且只有一个被3整除,

　　每5个数有且只有一个被5整除，

　　每6个数有且只有一个被8整除,

　　每7个数有且只有一个被13整除，

　　每8个数有且只有一个被21整除,

　　每9个数有且只有一个被34整除，

　　.......

　　我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）

　　斐波那契数列的素数无限多吗？

斐波那契数列的个位数：一个60步的循环

　　11235,83145,94370,77415,61785.38190,

　　99875,27965,16730,33695,49325,72910…