poj1275(差分约束系统)

1.思路

没什么好讲的，刘汝佳的书《算法艺术与信息学竞赛》讲得很好，不过对于初次接触差分约束系统的人来讲还是很费解，可以去参考《算法导论》，里面有很详细的约束图的构建过程。这里讲一下我的个人理解。s[i]为从0至i时刻雇佣的人数，t[i]为i时刻应聘的人数，r[i]为i至(i+1)%24时间段需要的最少人数，得出约束条件：

s[i]-s[i-1]>=0

s[i]-s[i-1]<=t[i] 〈==〉s[i-1]-s[i]>=-t[i]

s[i]-s[-1]>=sum

s[i]-s[j]>=r[i] i>j,i=(j+8)mod24

s[i]-s[j]>=r[i]-sum i<j,i=(j+8)mod24

i的范围应该是1~23，因为-1时刻是没有定义的，但是这样的话0时刻的约束s[0]>=0,s[0]<=t[0]就没有考虑在内，为了引入这两个约束条件我们设s[-1]=0,则s[0]=s[0]-s[-1]>=0,

s[0]-s[-1]<=t[0],因此可以把i的范围调整为0~23，这样可以避免对0时刻的特殊讨论！我们可以把-1作为一个参考点s，,23作为目标点t,我取-1为24，连接参考点至每一个点一条边，边权为0（因为每个点都有可能约束其它点），相当于给每个点赋了一个基础值d=0，个人觉得随便赋值多少都没关系。导论上也说了，若<x0,x1……xn-1>为约束系统的解，则<x0+d,x1+d,……xn-1 +d>也是系统的解，只不过我们这里是要求一个最少的人数因此取为d=0。最后从小到大枚举sum，求约束系统里单源s至其它点的最长路（因为这里取的都是大于关系，举一个最简单的例子a>=b同时对c约束,满足c>=a,c>=b，显然这时我们要取c>=a才能使c>=a,c>=b这两个条件都满足！相反的若取小于等于关系则是求单源最短路！导论上就是这样的。）若不存在正圈（通过走正圈约束永远无法得到全部满足）则有解退出，否则无解！

有个地方很费解：用SPFA()会错！

2.个人代码

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;
//   freopen("data.in","r",stdin);

#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 30
#define INF 1000000000//!!
#define WT 8//!!
struct Graph
{
int mat

;
int dis
;
int que
,front,rear;
bool vis
;
int in
;
int r
,tt
;
int _V,s,t;
void init()
{
_V=24;
s=24,t=23;//!!24做为最短路的源点
int u;
for(u=0; u<=_V; u++)
{
for(int v=0; v<=_V; v++)
{
mat[u][v]=-INF;
}
}
for(u=0; u<=_V; u++)mat[s][u]=0;
memset(tt,0,sizeof(tt));
}
void input()
{
int i;
for(i=0; i<_V; i++)scanf("%d",r+i);
int n;
cin>>n;
for(i=0; i<n; i++)
{
int T;
scanf("%d",&T);
tt[T]++;
}
}
void creatGraph()
{
init();
input();
int u;
for(u=1; u<_V; u++)
{
int v=u-1;
mat[v][u]=0;
mat[u][v]=-tt[u];
}
mat[s][0]=0;
mat[0][s]=-tt[0];//!!忘记加这个约束了,导致无限WA
for(u=0; u<_V; u++)
{
int v=(u+WT)%_V;
mat[u][v]=r[v];
}
}
bool spfa()
{
fill(dis,dis+_V,-INF);
dis[s]=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(in,0,sizeof(in));
front=rear=0;
que[rear++]=s;
vis[s]=true;
in[s]++;
while(front!=rear)
{
int u=que[front++];
front%=N;
vis[u]=false;
for(int v=0; v<_V; v++)
{
if(mat[u][v]>-INF&&dis[v]<dis[u]+mat[u][v])
{
dis[v]=dis[u]+mat[u][v];
if(!vis[v])
{
que[rear++]=v;
rear%=N;
vis[v]=true;
in[v]++;
if(in[v]>_V)return false;
}
}
}
}
return true;
}
void set()
{
for(int u=16; u<_V; u++)//!!
{
int v=(u+WT)%_V;
mat[u][v]--;
}
}
bool bellmanFord()
{
fill(dis,dis+_V,-INF);
dis[s]=0;
for(int k=1; k<_V; k++)
{
for(int u=0; u<=_V; u++)
{
for(int v=0; v<=_V; v++)
{
if(mat[u][v]>-INF&&dis[v]<dis[u]+mat[u][v])
{
dis[v]=dis[u]+mat[u][v];
}
}
}
}
for(int u=0; u<=_V; u++)
{
for(int v=0; v<=_V; v++)
{
if(mat[u][v]>-INF&&dis[v]<dis[u]+mat[u][v])return false;
}
}
return true;
}
bool SODC(int &cost)
{
int up=0;
for(int i=0; i<_V; i++)up+=tt[i];
for(int sum=1; sum<=up; sum++)
{
mat[s][t]=sum;
set();
if(bellmanFord())
{
cost=sum;
return true;
}
}
return false;
}
} net;

int main()
{
//   freopen("data.in","r",stdin);
int Case;
cin>>Case;
while(Case--)
{
net.creatGraph();

int cost;
if(net.SODC(cost))cout<<cost;
else cout<<"No Solution";
cout<<endl;
}
return 0;
}

3.黑书上的代码，很神！没有建约束图，直接操作s[]数组，它们之间的松弛的顺序关系始终没搞懂！颠倒就WA,本人表示很费解！求神牛解释！

#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 25;
const int INF = 21000000;
int r[M]; //每小时需要的出纳员的数目
int t[M]; //每小时应征的申请者的数目
int s[M]; //0～i时刻雇用的出纳员的数目
int main(void)
{
int ts;
cin >> ts;
while (ts--)
{
for (int i = 1; i <= 24; i++)
{
cin >> r[i];
t[i] = 0;
}
int m, a;
cin >> m;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> a;
t[a+1]++;
}
int sum;
for (sum = 0; sum <= m; sum++)   //枚举sum
{
s[0] = 0;
for (int i = 1; i <= 24; i++)
s[i] = INF;
int count = 0;
bool flag = 1;
while (flag&&count < M)   //进行m-1松弛操作
{
flag = 0;
count++;
for (int i = 1; i <= 24; i++)
if (s[i] < s[i-1])
{
s[i-1] = s[i];
flag = 1;
}
for (int i = 24; i > 0; i--)
if (s[i-1] + t[i] < s[i])
{
s[i] = s[i-1]+t[i];
flag = 1;
}
if (s[24] - sum < s[0])
{
s[0] = s[24] - sum;
flag = 1;
}
for (int i = 1; i <= 24; i++)
{
if (i > 8 && s[i] < s[i-8] + r[i])
{
s[i-8] = s[i] - r[i];
flag = 1;
}
if (i <= 8 && s[i] < s[i+16] + r[i] - sum)
{
s[i+16] = s[i] - r[i] + sum;
flag = 1;
}
}
}
if (count < M && s[24] >= sum)
break;
}
if (sum > m)
cout << "No Solution" << endl;
else
cout << sum << endl;
}
return 0;
}

3.二分枚举的话用下面这段代码（直接枚举141MS，黑书上的是47MS，二分枚举16MS）。

void set(int mid,int sign)
{
for(int u=16; u<_V; u++)//!!
{
int v=(u+WT)%_V;
mat[u][v]+=mid*sign;
}
}
bool SODC(int &cost)
{
int right=0,left=1,mid;
for(int i=0; i<_V; i++)right+=tt[i];

while(true)
{
mid=(right+left)>>1;
mat[s][t]=mid;
set(mid,-1);
if(bellmanFord())
{
if(left==right)
{
cost=mid;
return true;
}
else right=mid;
}
else
{
if(left==right)return false;
else left=mid+1;
}
set(mid,1);
}
}

4.拓展及补充

一、若有重边该怎么取？

当然这个题目不会，可是如果改3小时的，如下面的案例：

1

3

1 0 0

1

1

从小到大枚举答案当ans=1时

G[2][1]有两个取值0和-1。这时该怎么取呢？或者这时差分约束已经不适应了？

我构的图源点s=3,目标点t=2

构出的图矩阵表示为

-inf 0 0 -inf

0 -inf 0 -inf

-inf 0/-1 -inf -inf

0 0 0 0

最后一行零表示源点到每一个的距离为0，-inf为不可达，自身与自身的不可达是为了spfa时不加判断语句v!=u。

二、还有我对从源点s至目标t的边的理解是dis[t]=ans>0在图中可能会构成正圈，也就是无解的状态，但是不加这条边的话，本来有正圈的（无解）会当成了无正圈(有解）输出！