dp专辑 R - Trade [ 单调队列]

纠结~~~


题意：

lxhgww进行股票投资，他能预计未来T天内股票的变动，在第i天，他可以以价格为 APi买一支股票（最多ASi支），或者以价格BPi卖一支股票（最多BSi支），两次操作需要相差W天，同时他最多只能拥有MaxP支股票，求他T天收的最大收益。（起初他有无限的钱，没有任何股票）

描述的不好，附上大牛大牛们翻译的：

Description
最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。

通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来T天内某只股票的走势，第i天的股票买入价为每股APi，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保 证对于每个i，都有APi>=BPi），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第i天的一次买入至多只能购买ASi股，一次卖出至多只能卖 出BSi股。

另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W 天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第i+1天到第i+W天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的 股票数不能超过MaxP。

在第1天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，T天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的 程序员们，你们能帮助他吗？

Input
输入数据第一行包括3个整数，分别是T，MaxP，W。

接下来T行，第i行代表第i-1天的股票走势，每行4个整数，分别表示APi，BPi，ASi，BSi。

Output
输出数据为一行，包括1个数字，表示lxhgww能赚到的最多的钱数。

分析：

1、设f[i][j]表示前i天，手持j股时，最多能赚的钱
2、状态转移方程，从决策的角度来考虑。

决策1：不动---->f[i-1][j]

决策2：买---->f[r][k]-ap[i]*(j-k)，意义为在第r天手持k股之后，在第i天买（j-k）股(r<=i-w-1,k<j)

决策3：卖---->f[r][k]+bp[i]*(k-j)，意义为在第r天手持k股之后，在第i天卖（k-j）股(k>j)

∴ f[i][j]=max(决策1，决策2，决策3) 时间复杂度为O(T*T*maxp*maxp)

优化：

1、决策2和3中需要枚举r，没有必要，r可以确定为i-w-1
2、对于决策2，我们先对状态转移方程进行一下变形：

f[i-w-1][k]-ap[i]*(j-k)=f[i-w-1][k]+ap[i]*k-ap[i]*j

对于一个确定的j，我们可以先求出max(f[i-w-1][k]+ap[i]*k)(k<=j)，再用这个max值减去只与i和j有关的ap[i]*j，就能得到（买股票直到有j股）这一策略的最大收益。
看到max(f[i-w-1][k]+ap[i]*k)(k<=j)这样的式子，可以想到用单调队列优化（股票的支数为队列长度），可以将这一决策的时间复杂度优化到O(maxp)。
同样的道理，决策3也是可以优化到O(maxp)的。
最后，时间复杂度变成O(T*maxp)

//AC CODE:：

#include<stdio.h>
#include<string.h>

#define maxn 2010
#define inf 10000000
#define Max(a,b) a>b?a:b

int f[maxn][maxn],ap[maxn],bp[maxn],as[maxn],bs[maxn],n,maxp,w;

struct node//用于单调队列
{
int x,pos;//值、位置
} q[maxn];

int main()
{
int test;
scanf("%d",&test);
while (test--)
{
//init
scanf("%d %d %d",&n,&maxp,&w);
for (int i=1; i<=n; i++)
scanf("%d %d %d %d",&ap[i],&bp[i],&as[i],&bs[i]);
for (int i=1; i<=n; i++)
for (int j=0; j<=maxp; j++)
f[i][j]=-inf;
for (int i=1; i<=w+1; i++)
for (int j=0; j<=as[i]; j++)
f[i][j]=-ap[i]*j;
//dp
for (int i=2; i<=n; i++)
{
//last day
for (int j=0; j<=maxp; j++)
f[i][j]=Max(f[i-1][j],f[i][j]);
if (i<=w+1)
continue;
//buy
int head=0,tail=-1;
for (int j=0; j<=maxp; j++)
{
//insert
node tmp;
tmp.x=f[i-w-1][j]+j*ap[i];
tmp.pos=j;
while (head<=tail&&q[tail].x<tmp.x)
tail--;
q[++tail]=tmp;
//delete
while (head<=tail&&q[head].pos+as[i]<j)//
head++;
f[i][j]=Max(f[i][j],q[head].x-j*ap[i]);
}
//sell
head=0,tail=-1;
for (int j=maxp; j>=0; j--)
{
//insert
node tmp;
tmp.x=f[i-w-1][j]+j*bp[i];
tmp.pos=j;
while (head<=tail&&q[tail].x<tmp.x)
tail--;
q[++tail]=tmp;
//delete
while (head<=tail&&q[head].pos-bs[i]>j)//
head++;
f[i][j]=Max(f[i][j],q[head].x-j*bp[i]);
}
}
int ans=0;
for (int i=0; i<=maxp; i++)
if(ans<f
[i])
ans=f
[i];
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}