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2011-08-05 21:13 513 查看

反素数

问题描述:

对于任何正整数x,起约数的个数记做g(x).例如g(1)=1,g(6)=4.

如果某个正整数x满足:对于任意i(0<i<x),都有g(i)<g(x),则称x为反素数.

现在给一个N,求出不超过N的最大的反素数.

比如:输入1000 输出 840

思维过程:

求[1..N]中约数在大的反素数-->求约数最多的数

如果求约数的个数 756=2^2*3^3*7^1

(2+1)*(3+1)*(1+1)=24

基于上述结论,给出算法:按照质因数大小递增顺序搜索每一个质因子,枚举每一个质因子

为了剪枝:

性质一:一个反素数的质因子必然是从2开始连续的质数.

因为最多只需要10个素数构造:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

性质二:p=2^t1*3^t2*5^t3*7^t4.....必然t1>=t2>=t3>=....

void make(long long num,long long k,long long sum,int limit)

//当前枚举到的数；枚举到的第K大的质因子；该数的约数个数；质因子个数上限。
v{
v int i;
v long long temp;
v if (sum>maxsum)
v {
v maxsum=sum;
v bestnum=num; //如果约数个数更多，将最优解更新为当前数。
v }
v if (sum==maxsum && bestnum>num)
v bestnum=num; //如果约数个数相同，将最优解更新为较小的数。
v
v if (k>10)return;
v
v temp=num;
v for(i=1;i<=limit;i++) //开始枚举每个质因子的个数。
v {
v if (temp*prime[k]>n)
v break;
v temp=temp*prime[k]; //累乘到当前数。
v make(temp,k+1,sum*(i+1),i); //继续下一步搜索。
v }
v}

v

//当前枚举到的数；枚举到的第K大的质因子；该数的约数个数；质因子个数上限。
v{
v int i;
v long long temp;
v if (sum>maxsum)
v {
v maxsum=sum;
v bestnum=num; //如果约数个数更多，将最优解更新为当前数。
v }
v if (sum==maxsum && bestnum>num)
v bestnum=num; //如果约数个数相同，将最优解更新为较小的数。
v
v if (k>10)return;
v
v temp=num;
v for(i=1;i<=limit;i++) //开始枚举每个质因子的个数。
v {
v if (temp*prime[k]>n)
v break;
v temp=temp*prime[k]; //累乘到当前数。
v make(temp,k+1,sum*(i+1),i); //继续下一步搜索。
v }
v
}

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define LL long long
int prime[15] = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 };
LL bestnum, bestsum, n;
void bfs(LL currentnum, LL currentsum, int k, int lever) {
if (currentsum > bestsum) {
bestsum = currentsum, bestnum = currentnum;
}
if (currentsum == bestsum && bestnum > currentnum) {
bestnum = currentnum;
}
if (k > 14) {
return;
}
LL temp;
int i;
temp = currentnum;
for (i = 1; i <= lever; i++) {
if (temp * prime[k] > n) {
break;
}
temp = temp * prime[k];
bfs(temp, currentsum * (i + 1), k + 1, i);
}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
while (scanf("%lld", &n) != EOF) {
bestsum = 0, bestnum = n;
bfs(1, 1, 0, 50);
printf("%lld\n", bestnum);
}
return 0;
}

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