关于二进制、八进制、十六进制的计算和转换（Binary-Octal-Hex）

虽然很基础的内容，不过还是经常会用到。自己有时候头晕，也会需要复习一下。

我们常用的数字是以10为基数的，也就是说我们有0到9十个数字来表达，当要表达超过9的数字时，我们进位，譬如9+1=10.

同理，二进制是以2为基数的数字系统，我们只能用0和1来表达数字，当大于1时，我们进位，譬如1+1=10（不能有2这个数字存在）

八进制：0到7来表达数字，7+1=10（不能有8）

十六进制：在数字表达里，我们只有0到9十个数字，但按照前面的理解，十六进制显然需要十六个字符来满足数字的表达，于是，在这个系统里，我们借用了英文字母A、B、C、D、E、F，分别表达10、11、12、13、14、15. 所以，我们的计算式里会出现：9+1=A（而不是10），9+7=10（没有比F更大的表达，所以要进位）

还是有点糊涂？下面做几个简单计算就知道怎么转换了。

从十进制转换至其它进制：

有一种很通俗易懂的计算方法——取余数，例如：

把十进制的123转换成二进制：

123/2 = 61 余 1

61/2 = 30 余 1

30/2 = 15 余 0

15/2 = 7 余 1

7/2 = 3 余 1

3/2 = 1 余 1

1/2 = 0 余 1

把上面的余数从下往上排列起来：11110111，用Windows自带的计算器转换一下123到二进制，看看结果是不是一样？

把十进制123转换成八进制：

同样用上面的方法，这次我们除以8（而不是2）

123/8 = 15 余 3

15/8 = 1 余 7

1/8 = 0 余 1

把上面的余数从下往上排列起来：173，Windows计算器获得的转换结果也是173

很容易吧？十六进制的计算也是一样的，我就不写出来了，但记得用ABCDEF来分别表达10到15这几个数字。方法虽然简单，但是计算会相当繁琐。如果在不借助计算器的前提下，要把十进制的1234567890转换成二进制，那恐怕会算到死～下面，我再介绍一种方法，是通过将十进制转换成十六进制，再转换成二进制的一个过程。

将数字1234567890转换成十六进制，用前面提供的方法，只需要7步：

1234567890/16 = 77160493 余 2

77160493/16 = 4822530 余 13

4822530/16 = 301408 余 2

301408/16 = 18838 余 0

18838/16 = 1177 余 6

1177/16 = 73 余 9

73/16 = 4 余 9

4/16 = 0 余 4

余数从下往上排列起来：499602D2，这个与计算器的结果是一致的。接下来，从十六进制转二进制就容易了：

4的二进制表达为0100（我在最前边补充一个0，为的是让二进制数字有4位，为什么？我一会儿解释）

9的二进制表达为1001

6的二进制表达为0110

0的二进制表达为0000

2的二进制表达为0010

D的二进制表达为1101（D也就是13）

我们现在将十六进制的数字499602D2分拆开来，将每一个数字单独用对应的二进制数字表示：





从左到右按顺序合并二进制数字：01001001100101100000001011010010，去除最左边第一位的0（这个0没有意义，譬如你不会写成001，而只写1），对比计算器获得的结果，是否一致？

此方法也适用于八进制转换二进制，不过在十六进制下，我们的二进制保留4位（不足时补0），而八进制下，我们的二进制保留3位（不足时补0），譬如：

八进制的123，转换成二进制得到001 010 011，合并后得到1010011.

现在你可能要问为什么十六进制和八进制可以这样转换到二进制，而十六进制要保留4位数，八进制只要3位数。这个我们可以这样理解：2^4 = 16, 2^3 = 8，可见，基数2的4次方为16，3次方为8，在同以2为基数时，我们可以做一个反向的计算。

当然，实际生活中，计算远没有那么复杂，除了上面的方法外，我们还可以列表：





上表是一个16位的二进制表，譬如我们要查找十进制数字123的二进制表达：64+32+16+8+2+1 = 123，对应上表，我们得到1x2^6 + 1x2^5 + 1x2^4 + 1x2^3 + 0x2^2 + 1x2^1 + 1x2^0，保留乘数前面0和1的部分，得到1 1 1 1 0 1 1，也就是123的二进制表达。这个表很方便，但也是需要一定计算的。

从其它进制转换为十进制：

这个是需要比较大量计算的过程，通常我只建议一种方法，那就是将十六、八进制转换成二进制后，利用上面的表格进行计算。把对应数值加起来就可以了，譬如1101对应着8+4+0+1 = 13