KMP算法中的next函数

KMP算法详解看 http://www.matrix67.com/blog/archives/115

next[i]表示当模式串T[i]与主串失配时，模式串的索引回溯到next[i]，主串的索引不变

下面串的下标均从0开始

-1 i==0

next[i] =

max{ k|0≤k<i } T[0...k-1] == T[i-k...i-1]

证明模式串next函数的可行性

当T[i] 与 S[j] 失配时，即 T[i] != S[j]时

可得

T[ 0...i-1 ] = S[ j-i...j-1 ] 式1

令k=next[i].由式1可得

T[ i-k...i-1 ] = S[ j-k...j-1 ]
式2

又因为

T[ 0...k-1 ] = T[ i-k...i-1 ]
式3

由式2和式3可得

T[ 0...k-1 ] = S[ j-k...j-1 ]
结论

由结论可知,当T[i] 与 S[j]失配时，模式串的前k(next[i]的值)个字符与主串中在j之前的k个字符相等。因为串的下标从0开始，所以模式串T[i]与主串S[j]失配时，回溯的位置正好是k.

所以模式串的索引只需从i回溯到next[i],即上文的k. 而主串的索引j保持不变，然后模式串从next[i]开始于主串从j开始尝试匹配。

从而达到了一种效果，主串的索引不需要回溯，需要回溯的只是模式串的索引。

假如模式串T为：abaabcac 则它对应的next值为



假如模式串T为：abababa。则它对应的next值为



在没有修正的情况下

假如当模式串T为：abababa.那么T[3] 与 主串失配时，模式串的索引回溯到1，然而T[1] == T[3] = 'b'，所以T[1] 与 主串必然失配，所以这个回溯是没有意义的。

修正后，在确定next[i]是否为k之前，做以下的判断

若T[i] != T[j], 那么 next[i] = k

若T[i] == T[j], 那么 next[i] = next[j]