基本的2D图形变换&变换矩阵推导(转)

         平时开发程序，免不了要对图像做各种变换处理。有的时候变换可能比较复杂，比如平移之后又旋转，旋转之后又平移，又缩放。直接用公式计算，不但复杂，而且效率低下。这时可以借助变换矩阵和矩阵乘法，将多个变换合成一个。 最后只要用一个矩阵对每个点做一次处理就可以得到想要的结果。另外，矩阵乘法一般有硬件支持，比如3D 图形加速卡，处理3D变换中的大量矩阵运算，比普通CPU 要快上1000倍。下面是3类基本的2D图形变换。  平移设某点向x方向移动 dx, y方向移动 dy ,[x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。则 X = x+dx;  Y = y+dy;以矩阵表示：                                1    0    0[X, Y, 1] = [x, y, 1][  0    1    0  ] ;                                 dx  dy   1  1    0    0  0    1    0   即平移变换矩阵。   dx  dy   1   旋转 旋转相比平移稍稍复杂： 设某点与原点连线和X轴夹角为b度，以原点为圆心，逆时针转过a度  , 原点与该点连线长度为R, [x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。  x = Rcos(b) ; y = Rsin(b);  X = Rcos(a+b) = Rcosacosb - Rsinasinb = xcosa - ysina; (合角公式)  Y = Rsin(a+b) = Rsinacosb + Rcosasinb = xsina + ycosa ; 
  用矩阵表示：                                cosa   sina  0 [X, Y, 1] = [x, y, 1][ -sina  cosa  0  ]                                      0        0     1  cosa   sina  0 -sina  cosa  0  为旋转变换矩阵。   0       0     1   缩放 设某点坐标，在x轴方向扩大 sx倍，y轴方向扩大 sy倍，[x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。 X = sx*x; Y = sy*y;则用矩阵表示：                                sx    0    0[X, Y, 1] = [x, y, 1][  0    sy    0  ] ;                                0     0     1 sx    0    0 0    sy    0  即为缩放矩阵。  0     0     1         2D基本的模型视图变换，就只有上面这3种，所有的复杂2D模型视图变换，都可以分解成上述3个。比如某个变换，先经过平移，对应平移矩阵A， 再旋转, 对应旋转矩阵B，再经过缩放，对应缩放矩阵C. 则最终变换矩阵 T = ABC. 即3个矩阵按变换先后顺序依次相乘(矩阵乘法不满足交换律，因此先后顺序一定要讲究)。
注：文章转自 《基本的2D图形变换&变换矩阵推导》http://www.cnblogs.com/melode11/archive/2009/12/19/1627554.html