基础指数级数公式展开的来源

基础指数级数公式展开的来源

这里有个假设a^w=(1+k*w),即当w很小很小的时候，我们假设它是对的，其中k是常数，但它的值由a决定；这样的假设是没什么问题的，虽然很模糊。

下面就是重要的一步，对上面等式的两边分别取i的幂次方，而这个i是很大很大的值，这样上面的式子可以变形为：

(a^w)^i=(1+k*w)^i,到这里为止，也还是正常，精彩的是这里可以应用newton的二项式公式了，即有：

a^(wi)=1+i*(kw)/1!+i*(i-1)*(kw)^2/2!+i*(i-1)*(i-2)*(kw)^3/3!+...

在这里可以采用一个模糊策略，既然i为无穷大，而w为无穷小，那两者相乘应该是个正常的数，也就是我们常见的1到100这样的数，在这里继续进行假设，因为i为无穷大，所以可以有:

i=i-1=i-2=i-3=.....

这里有个关于终止的问题很有意义：

其中因为上面的分子i-1,i-2,i-3等它的值是逐渐变小的，而分母1!,2!,3!,的增长趋势非常快，从而可以理解为上面的无穷展开式的收敛速度是非常快的，这也就是说只需要计算前面几项就可以了，而反过来前面几项i-1,i-2,i-3..与i的值很接近，所以假设它们等于i是说得过去的，这样上面的式子可以简化为:

a^x=1+(kx)/1!+(kx)^2/2!+(kx)^3/3!+...

从这里的推导可以看出，最终产生威力的还是newton的二项式定理，即当指数是无穷大的时候它是正确的，当然我们只是利用其中的收敛性质，并不是真正计算结果。