并查集---一点小的感悟

最近在做ACM题，遇到了一个叫做并查集的东西，于是从网上找了一些资料，顺便自己总结了一些，希望对大家和自己都有用~~
（一）什么叫做并查集
英文：Disjoint
Set，即“不相交集合”
将编号分别为1…N的N个对象划分为不相交集合，在每个集合中，选择其中某个元素代表所在集合。
常见两种操作：

1、n合并两个集合

2、n查找某元素属于哪个集合
例如，并查集一般用数组来实现，用数组的下标序号作为其元素的代号，其中的每个元素都属于一个集合，初始条件下每个元素所属的集合中只有其一个元素，例如对于元素i来说，其所属的集合为Set[i]，在实际应用中要将各个集合进行合并，用编号最小的元素的下标作为整个集合的代号。
n 用编号最小的元素标记所在集合；
n 定义一个数组 set[1..n]
，其中set[i] 表示元素i 所在的集合；



例如上图中，目前元素1、3、7都属于集合1，也就是set[1]=set[3]=set[7]=1;同理，元素2、5、9、10都属于集合2，等等。用数学语言描述，不相交的集合共有四个： {1,3,7}, {4}, {2,5,9,10}, {6,8}
上面的算法的实现过程如下：



其中，左图表示查找相应元素所在的集合，右图表示将两个集合相合并，当然前提条件是参数a，b分别表示的是集合。其复杂度不难计算出来：右图中的算法包括一个循环，此循环的复杂度为O(N)，当元素的个数很少是还能接受，但是当元素的个数很多时，其运算速度很难让人接受。
为了改进合并算法，将元素用树的形式表示出来：
n 每个集合用一棵“有根树”表示
n 定义数组 set[1..n]
n
set[i] = i , 则i表示本集合，并是集合对应树的根
n
set[i] = j, j<>i, 则 j 是 i 的父节点.



下面是其算法



从树中的每个节点开始顺着其父节点向上查找，直到找到其相应的根节点。


其复杂度算法也是容易算出的，先说查找算法：当树是一个左偏树或者右偏树时，其复杂度为O(N)，但是当树为一个普通的树时，其复杂度为从此节点到其根节点的层数的复杂度，其复杂度为 。合并的算法的复杂度为O(1);
由于合并的时候是随机合并的，因此容易形成左偏树或者右偏树，这样不利于降低查找算法的复杂度，为了节省算法开销，作如下的改进。
n 方法：将深度小的树合并到深度大的树
n 实现：假设两棵树的深度分别为h1和h2, 则合并后的树的高度h是:
n max(h1,h2), if h1<>h2.
n

h1+1, if h1=h2.
n 效果：任意顺序的合并操作以后，包含k个节点的树的最大高度不超过
其算法如下所示：



为了进一步优化算法，可以进行路径压缩：
n 思想：每次查找的时候，如果路径较长，则修改信息，以便下次查找的时候速度更快
n 步骤:
n 第一步，找到根结点
n 第二步，修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根结点
算法如下：