重复选择基础公式的来源推导

重复选择基础公式的来源推导

从n个元素中选择r个元素A(n,r)，对于特定的元素m，如果它被选入了可能数为A(n,r-1)，如果不被选择可能数为A(n-1,r),那么有公式A(n,r)=A(n,r-1)+A(n-1,r)

设A(n,r)的母函数为G(n)，有:

G(n)=A(n,0)+A(n,1)*x+...+A(n,r)*x^r+...

GO

x*G(n)= A(n,0)*x+A(n,1)*x^2+...+A(n,r-1)*x^r+A(n,r)*x^(r+1)+...

同理还有:

G(n-1)=A(n-1,0)+A(n-1,1)*x+...+A(n-1,r)*x^r+...

观察x^r，应用减法有：

G(n)-x*G(n)-G(n-1)=0

即有G(n)=G(n-1)*1/(1-x)

而G(1)=A(1,0)+A(1,1)*x+...+A(1,r)*x^r+...

A(1,k)都为1，G(1)=1+x+x^2+...=1/(1-x)

所以有G(n)=1/(1-x)^n

这样就与前面那个有疑问的问题联系起来了，

但现在思维是 ：为什么可以这样做？