n阶差分方程重根计算公式的一般证明

n阶差分方程重根计算公式的一般证明

设(x-a)^n=0,则它的解的形式为a^n,n*a^n,n^2*a^n...,n^(n-1)*a^n

下面采用数学归纳法证明：

即在(x-a)^(n+1)=0时，它的解形式为：a^(n+1),(n+1)*a^(n+1),(n+1)^2*a^(n+1)...,(n+1)^(n)*a^(n+1)

目前设一般形式为(n+1)^s*a^(n+1) , （其中0<=s<=n,不能取到n+1 )

将(n+1)^s*a^(n+1)代入(x-a)^(n+1)中有：

result=SUM { C(n+1,k)*(n+1+k)^s*a^(n+1+k)*(-a)^(n+1-k) } (其中0=< k <=n+1)

Go

result=a^(2*n+2)* SUM { C(n+1,k)*(n+1+k)^s*(-1)^(n+1-k) }

在这里首先n是固定的，先假定s是不变的，然后假定k是不变的，对于{}中的多项式(n+1+k)^s用newton展开有：

GO

result=a^(2*n+2)* SUM { C(n+1,k)* SUM { C(s,k')*(n+1)^k'*k^(s-k') } *(-1)^(n+1-k) } (其中0=< k' <=s)

Go

k在第二个SUM里面是定的,所以运用前面的技巧C(n+1,k)*(n+1)^k'=C(n+1-1,k-1)*(n+1)^(k'-1):

result=a^(2*n+2)* SUM { C(n+1-1,k-1)* SUM { C(s,k')*(n+1)^(k'-1)*k^(s-k') } *(-1)^(n+1-k) } (其中0=< k' <=s)

GO

对(n+1)^(k'-1) 运用newton展开有:

这里(其中0=< k'-1 <=s-1)

result=a^(2*n+2)* SUM { C(n+1-1,k-1)* SUM { C(s,k')* SUM { C(k'-1,k'')*n^k'' } *k^(s-k') } *(-1)^(n+1-k) }

Go

result=a^(2*n+2)* SUM { C(n,k-1)* SUM { C(s,k')* SUM { C(k'-1,k'')*n^(k'-1-k'') } *k^(s-k') } *(-1)^(n+1-k) }

注意由数学归纳法可以知道：

其中最内层的SUM和为0，这个是(x-a)^n=0时解应该满足的条件。

从而得到证明。