算法导论 堆排序

堆的基本概念：

堆是一个完全二叉树，用数组来存储这个结构的时候，A[1...length[A]]可以表示有效值，但heap_size[A]以外的值都不是属于堆的，可以视为无效值。

对于数组中下标为i的元素，根据二叉树的性质可以得到：

其父节点下标为，P = n/2(下取整)

左孩子： L = 2*i

右孩子： R = 2*i + 1

最大堆：

除了根节点外的每个节点i，有：

A[parent[i]] >= A[i]

即树中的每个节点，父节点>= 孩子节点的值

最小堆：

同理，反之。

在讲堆排序之前，要先理解怎样维持最大堆的性质。对于节点i，假设以Left[i]，Right[i]为根的两棵二叉树都是最大堆，但是这是A[i]可能比其孩子要小，这样就违背了最大堆的性质。此时如何调整，以保持呢？可以让A[i]下降到某个合适的高度，将A[i]与其左右孩子，A[L]，A[R]的值想比较，并且将较大值与A[i]交换，这样A[i]就下降到了原来其孩子A[X]的高度，但这时的调整可能又破坏了原本是最大堆的左子树，或右子树，所以递归调整。

代码如下：

void max_heapify(int *a,int i,int len)
{
int l = 2*i;
int r = l + 1;

int largest = 0;
if(l <= len && a[l] > a[i])
{
largest = l;
}
else
{
largest = i;
}

if(r <= len && a[r] > a[largest])
{
largest = r;
}

if(largest != i)
{
int temp = a[i];
a[i] = a[largest];
a[largest] = temp;

max_heapify(a,largest,len);
}
}

其中，len为实际元素个数，并使数组从下标1开始，在a[0]处填充无效数据0，i为待调整的元素下标

现在谈如何建造一个最大堆：

由于数组A中从下标n/2 + 1到n的元素都是叶子(其中n/2下取整)，可以看作是只含一个元素的堆。

所以从Length[A]/2 downto 1的每一个节点都调用一次堆调整的函数max_heapify。

为什么要Length[A]/2 downto 1而不是1 upto Length[A]/2呢？

这是由于max_heapify中假设了左右子树已经是构造好的堆，所以要采用downto的形式！

代码如下：

void build_heap(int *a,int len)
{
for(int i = len / 2;i >= 1;--i)
{
max_heapify(a,i,len);
}
}

现在考虑堆排序：

先将数组A[1..Length[A]]构造一个最大堆，则此时，数组中最大元素在下标1的位置，将它与下标n处值交换，则此时数组A中最后一个元素存储的是整个数组中最大值。这时原本构造好的堆的性质可能被破坏，所以将数组中A[1...n-1]调整堆，以保持其性质。这样以后，数组中第二大的元素又在下标1的位置，再将其与下标n-1处值交换，则数组中第二大元素在倒数第二个的位置...以此类推，直到调整到下标2，此时整个数组已经按升序排好序。

代码如下：

void heap_sort(int *a,int len)
{
build_heap(a,len);

for(int i = len; i >= 2;)
{
int temp = a[i];
a[i] = a[1];
a[1] = temp;

--i;
max_heapify(a,1,i);
}
}

完整测试代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>

#include "heap.h"

void Print_nums(const std::vector<int> &a)
{
for(int i = 0;i != a.size();++i)
{
std::cout << a[i] << "/t";
}

std::cout << std::endl;
}

int main()
{
std::vector<int> a;
a.push_back(0);

int x;
std::cout << "please enter nums with 1000 end" << std::endl;

while(std::cin >> x && x != 1000)
{
a.push_back(x);
}

Print_nums(a);

//  std::cout << "build_heap" << std::endl;

//  build_heap(&a[0],a.size() - 1);

std::cout << "heap_sort" << std::endl;

heap_sort(&a[0],a.size() - 1);

Print_nums(a);
return 0;
}

输入测试数据：4 1 3 2 16 9 10 14 8 7 1000

测试结果：

please enter nums with 1000 end
4 1 3 2 16 9 10 14 8 7 1000
0 4 1 3 2 16 9 10 14 8 7
heap_sort
0 1 2 3 4 7 8 9 10 14 16