SPFA最短路
2011-05-22 00:01
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B-F
适用条件&范围
单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
差分约束系统;
对每条边进行|V|-1次Relax ( 就是松弛操作 )操作;
如果存在(u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为s到v的最短距离,pre[v]为前驱。
算法时间复杂度O(VE)。因为算法简单,适用范围又广,虽然复杂度稍高,仍不失为一个很实用的算法。
算法的改进---> SPFA 复杂度O(KE),k ≈ 2
SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现,减少了不必要的冗余计算。也有人说SPFA本来就是Bellman-Ford算法,现在广为流传的Bellman-Ford算法实际上是山寨版。
算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素,并对所有与他相邻的点进行松弛(见下文最后),若某个相邻的点松弛成功,则将其入队。
直到队列为空时算法结束。
这个算法,简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法
SPFA——Shortest Path Faster Algorithm,它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径,可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单:
设Dist代表S到I点的当前最短距离,Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞,只有Dist[S]=0,Fa全部为0。
维护一个队列,里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。
每次迭代,取出队头的点v,依次枚举从v出发的边v->u,设边的长度为len,判断Dist[v]+len是否小于Dist[u],若小于则改进Dist[u],将Fa[u]记为v,并且由于S到u的最短距离变小了,有可能u可以改进其它的点,所以若u不在队列中,就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空,也就是S到所有的最短距离都确定下来,结束算法。若一个点入队次数>=n,则有负权环。
SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似,不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进,于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k,有办法证明对于通常的情况,k在2左右
数组实现邻接表模板
vector实现邻接表模板
数组版
如果要记录最短路径的话就需要开多一个数组pre[i],当且仅当dis[i]+map[i][j]<dis[j]时更新pre[j] = i
适用条件&范围
单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
差分约束系统;
算法描述
对每条边进行|V|-1次Relax ( 就是松弛操作 )操作;如果存在(u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为s到v的最短距离,pre[v]为前驱。
For i:=1 to |V|-1 do //v为顶点数 For 每条边(u,v)∈E do //对每条边进行遍历 Relax(u,v,w); For每条边(u,v)∈E do If dis[u]+w<dis[v] Then Exit(False)
时空复杂度
算法时间复杂度O(VE)。因为算法简单,适用范围又广,虽然复杂度稍高,仍不失为一个很实用的算法。算法的改进---> SPFA 复杂度O(KE),k ≈ 2
算法简介
SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现,减少了不必要的冗余计算。也有人说SPFA本来就是Bellman-Ford算法,现在广为流传的Bellman-Ford算法实际上是山寨版。
算法流程
算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素,并对所有与他相邻的点进行松弛(见下文最后),若某个相邻的点松弛成功,则将其入队。直到队列为空时算法结束。
这个算法,简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法
SPFA——Shortest Path Faster Algorithm,它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径,可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单:
设Dist代表S到I点的当前最短距离,Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞,只有Dist[S]=0,Fa全部为0。
维护一个队列,里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。
每次迭代,取出队头的点v,依次枚举从v出发的边v->u,设边的长度为len,判断Dist[v]+len是否小于Dist[u],若小于则改进Dist[u],将Fa[u]记为v,并且由于S到u的最短距离变小了,有可能u可以改进其它的点,所以若u不在队列中,就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空,也就是S到所有的最短距离都确定下来,结束算法。若一个点入队次数>=n,则有负权环。
SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似,不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进,于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k,有办法证明对于通常的情况,k在2左右
数组实现邻接表模板
#define N 100004 const int INF = (1<<30); int n,m;//n是最后一个点的编号 struct edge{ int u,v,w; int next;//同一起点的下一条边存储在edge数组中的位置(理解了这个静态邻接表就可以了) }e[N*10]; int head ;//以该点为起点的第一条边存储在e数组中的位置 int dis ;//记录与源点距离 bool vis ;//记录顶点是否在队列中,SPFA算法可以入队列多次 int cnt ;//记录顶点入队列次数 int ecnt; void init(){ ecnt = 0; memset(head,-1,sizeof(head)); } void add(int u,int v,int w){ e[ecnt].u = u; e[ecnt].v = v; e[ecnt].w = w; e[ecnt].next = head[u]; head[u] = ecnt++;//位置更新 } bool SPFA(int s){//s是源点编号 queue<int> qq; int i; for(i=1;i<=n;++i){ dis[i] = INF; //将除源点以外的其余点的距离设置为无穷大 vis[i] = 0; cnt[i] = 0; } dis[s]=0; //源点的距离为0 vis[s] = 1; cnt[s]++; //源点的入队列次数增加 qq.push(s); int u,v; while(!qq.empty()){ u = qq.front(); qq.pop(); vis[u] = 0; for(i=head[u];i!=-1;i = e[i].next){ v = e[i].v; int cost = e[i].w; if(dis[v] > cost+dis[u]){ dis[v] = cost+dis[u]; if(!vis[v]){ vis[v] = 1; qq.push(v); cnt[v]++; if(cnt[v] >= n)return false; } } } } return true; }
vector实现邻接表模板
#define N 50001 const int INF = 0x7fffffff; int n,m; typedef struct edge { int to; int w; }edge,temp; vector<edge> adjmap ; //vector实现邻接表 int d ; bool vis ; //记录顶点是否在队列中,SPFA算法可以入队列多次 int cnt ; //记录顶点入队列次数 void SPFA() { queue<int> myqueue; int i; for(i=2;i<=n;++i) d[i] = INF; //将除源点以外的其余点的距离设置为无穷大 memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(cnt,0,sizeof(cnt)); d[1]=0; //源点的距离为0 vis[1] = true; cnt[1]++; //源点的入队列次数增加 myqueue.push(1); int topint; while(!myqueue.empty()) { topint = myqueue.front(); myqueue.pop(); vis[topint] = false; for(i=0;i<adjmap[topint].size();++i) { int to = adjmap[topint][i].to; if(d[topint]<INF && d[to]>d[topint]+ adjmap[topint][i].w) { d[to] = d[topint]+ adjmap[topint][i].w; if(!vis[to]) { vis[to] = true; cnt[to]++; if(cnt[to]>=n) //当一个点入队的次数>=n时就证明出现了负环。 return ; myqueue.push(to); } } } } printf("%d/n",d ); } int main() { freopen("a.txt","r",stdin); scanf("%d%d",&n,&m); int i; int s,e,w; edge temp; for(i=1;i<n+1;++i) //此处特别注意对邻接表清空 adjmap[i].clear(); for(i=0;i<m;++i) //双向 { cin>>s>>e>>w; temp.to = e; temp.w = w; adjmap[s].push_back(temp); temp.to = s; adjmap[e].push_back(temp); } SPFA(); return 0; }
数组版
int map ,dist ,vis ; void SPFA(int s){ int i,j; for(i=0;i<=n;i++){ dist[i] = maxsum; vis[i] = 0; } queue<int> q; dist[s]=0; q.push(s); vis[s]=1; while(!q.empty()){ int x=q.front(); q.pop(); vis[x]=0; for(i=1;i<=n;i++){ if(map[x][i] != INF && dist[x]+map[x][i]<dist[i]){ dist[i]=dist[x]+map[x][i]; if(!vis[i]){ vis[i]=1; q.push(i); } } } } }
如果要记录最短路径的话就需要开多一个数组pre[i],当且仅当dis[i]+map[i][j]<dis[j]时更新pre[j] = i
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