POJ1006 Biorhythms 解题报告

Biorhythms
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题目描述：
Description
人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。
Input
输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。
当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。
Output
从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。

采用以下格式：
Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.
注意：即使结果是1天，也使用复数形式“days”。
Sample Input
0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1
Sample Output
Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.
Source
East Central North America 1999

问题分析和解题思路：

这是一道水题，一个模拟就可以搞定。这道题更好的方法是用数学法求解，也是题目的价值所在。运用的是中国剩余定理，更准确的说是运用了大衍求一法。先给出定理。有一个关于韩信的故事：

韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。

这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目。这道“物不知数”的题目是这样的：
“今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？”
用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被3除余2，被5除余3，被7除余2。《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案。这相当于求不定方程组N=3x+2,N=5y+3,N=7x+2的正整数解N。《孙子算经》所给答案是N＝23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法多三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：
　　N＝70×3＋21×8＋15×2－2×105。
　　这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、8、2分别换成新的余数就行了。
后人总结成了便于记忆的诗句：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百令五便得知。”
《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性：
　　也就是说，这三个数可以从最小公倍数M＝3×5×7＝105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1＝2，K2＝1，K3＝1，那么整数Ki（i＝1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下的情况。
　　应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn，即
　　N≡Ri（mod ai）（i＝1、2、……n），
　　只需求出一组数K，使满足
　　1（mod ai）（i＝1、2、……n），
　　那么适合已给一次同余组的最小正数解是
（P是整数，M＝a1×a2×……×an），N＝70×R1＋21×R2＋15×R3－P×105（p是整数）。
说的简单点，剩余定理的这个例子相当于：
n%3=2,n%5=3,n%7=2且3，5，7互质
使5×7被3除余1，用35×2=70；
使3×7被5除余1，用21×1=21；
使3×5被7除余1，用15×1=15。
（70×2+21×3+15×2）%（3×5×7）=23
同样，这道题也应该是：
使33×28被23除余1，用33×28×6=5544；
使23×33被28除余1，用23×33×19=14421；
使23×28被33除余1，用23×28×2=1288。
（5544×p+14421×e+1288×i）%（23×28×33）=n+d
n=（5544×p+14421×e+1288×i-d）%（23×28×33）

至此，这题得解。

AC代码：

#include<stdio.h>

int main()

{

int a,b,c,d,day,n=0;//a、b、c、d分别为输入的四个数

while(scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d)!=EOF)

{

n++;

if(a==-1&&b==-1&&c==-1&&d==-1) break;

day=(5544*a+14421*b+1288*c-d)%(23*28*33);

if(day<=0)

printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days./n",n,21252-d);

else  printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days./n",n,day);

}

return 0;

}

总结：

但凡数学题，一般来说如果可以用其他方法做的，数学方法的时间度以及代码量等方面都会优于其他方法，因此，对于数学题，要尽量用数学方法求解。平时要注重数学题的独立思考和独立解决，提高数学能力。同样的，一道题也要多方面思考，争取多角度多算法解决。