【POJ1179】Polygon （动态规划 DP）

多边形游戏是一个单人玩的游戏，开始时有一个由n个顶点构成的多边形。每个顶点被赋予一个整数值，每条边被赋予一个运算符“+”或“*”。所有边依次用整数从1到n编号。

游戏第1步，将一条边删除。
随后n-1步按以下方式操作：
(1)选择一条边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2；
(2)用一个新的顶点取代边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2。将由顶点V1和V2的整数值通过边E上的运算得到的结果赋予新顶点。
最后，所有边都被删除，游戏结束。游戏的得分就是所剩顶点上的整数值。
问题:对于给定的多边形，计算最高得分。分析：
•
在所给多边形中，从顶点i(1≤i≤n)开始，长度为j(链中有j个顶点)的顺时针链p(i，j) 可表示为v[i]，op[i+1]，…，v[i+j-1]。
•
如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生(1≤s≤j-1)，则可在op[i+s]处将链分割为2个子链p(i，s)和p(i+s，j-s)。
•
设m1是对子链p(i，s)的任意一种合并方式得到的值，而a和b分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。m2是p(i+s，j-s)的任意一种合并方式得到的值，而c和d分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。依此定义有a≤m1≤b，c≤m2≤d
(1)当op[i+s]='+'时，显然有a+c≤m≤b+d
(2)当op[i+s]='*'时，有min{ac，ad，bc，bd}≤m≤max{ac，ad，bc，bd}
换句话说，主链的最大值和最小值可由子链的最大值和最小值得到。

/* http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1179 枚举 + 分段DP
枚举所有边来删除，然后从删除的边右侧的起始点开始分段DP,对于乘法
由于可能负负得正，因此需要考虑所有min和max的组合情况
(1)对于加法
max[i][j] = max(max[i][j], max[i][k] + max[k+1][j]), i <= k < j
min[i][j] = min(min[i][j], min[i][k] + min[k+1][j]), i <= k < j
(2)对于乘法
max[i][j] = max(max[i][j], min[i][k] * min[k + 1][j], min[i][k] * max[k + 1][j],
max[i][k] * min[k + 1][j], max[i][k] * max[k + 1][j]), i <= k < j
min[i][j] = min(min[i][j], min[i][k] * min[k + 1][j], min[i][k] * max[k + 1][j],
max[i][k] * min[k + 1][j], max[i][k] * max[k + 1][j]), i <= k < j
另外每次DP在分段时由于起始位置不一定0，所以要注意边界转换问题
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxlen 51
#define maxnum 999999999
#define minnum -999999999
int operand[maxlen];//操作数
char operat[maxlen];//操作符
//resmax[i][j]i到j合并的最大值
int resmax[maxlen][maxlen];
//resmin[i][j]i到j合并的最小值
int resmin[maxlen][maxlen];
int ansmax;//存储临时最大结果
bool dedge[maxlen];//最大结果所删掉的边
int n,i,j,k,steplen,deledge;
int tempmax,tempmin;
//初始化
void ini()
{
for (i=0;i<n;i++)
for (j=0;j<n;j++)
if(i == j)
resmax[i][j] = resmin[i][j] = operand[i];
else{
resmax[i][j] = minnum;
resmin[i][j] = maxnum;
}
}
int main(){
freopen("1.txt","r",stdin);
cin>>n;
for (i=0;i<n;i++)
cin>>operat[i]>>operand[i];
ansmax=minnum;
//对每条边进行删除遍历
for (deledge=0;deledge<n;deledge++)
{
ini();
//对应所删边的步长
for (steplen=2;steplen<=n;steplen++)
{
//遍历对应步长的起始位置
for (i=deledge;i<=n+deledge-steplen;i++)
{
//对应的起始位置的终点位置
j=i+steplen-1;
//遍历断点K
for (k=i;k<j;k++)
{
int kleftmax=resmax[i%n][k%n];
int kleftmin=resmin[i%n][k%n];
int krightmax=resmax[(k+1)%n][j%n];
int krightmin=resmin[(k+1)%n][j%n];
//根据操作符不同进行不懂的动态转移式
if(operat[(k+1)%n]=='t'){
tempmax=kleftmax+krightmax;
tempmin=kleftmin+krightmin;
}
else{
tempmax=max(max(kleftmax*krightmax,kleftmin*krightmin),
max(kleftmin*krightmax,kleftmax*krightmin));
tempmin=min(min(kleftmax*krightmax,kleftmin*krightmin),
min(kleftmin*krightmax,kleftmax*krightmin));
}
resmax[i%n][j%n]=max(resmax[i%n][j%n],tempmax);
resmin[i%n][j%n]=min(resmin[i%n][j%n],tempmin);
}
}
}
//如果最大值不同则刷新结果，相同则对应位置为真
if(resmax[deledge][(deledge+n-1)%n]>ansmax)
{
memset(dedge,0,sizeof(dedge));
ansmax=resmax[deledge][(deledge-1+n)%n];
dedge[deledge]=1;
}else if(resmax[deledge][(deledge-1+n)%n]==ansmax)
dedge[deledge]=1;
}
//输出结果
cout<<ansmax<<endl;
for (i=0;i<n;i++)
if(dedge[i]) cout<<i+1<<" ";
}