Dijkstra算法-寻找有向图中最短路径 （实现存储最短路径）

Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻发现的。算法解决的是有向图中最短路径问题。

举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。 Dijkstra算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。

Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。 我们以V表示G中所有顶点的集合。图中的每一个边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。 假设E为所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E → [0, ∞]定义。 因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。 边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。 已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。 这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。

算法描述

这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，源点s的路径长度值被赋为0（d[s]=0）， 同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于V中所有顶点v除s外d[v]= ∞）。当算法结束时，d[v]中储存的便是从s到v的最短路径，或者是无穷大（如果路径不存在的话）。

Dijstra算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从u到v的边，那么从s到v的最短路径可以通过将边(u,v)添加到s到u的尾部来拓展。这条路径的长度是d[u]+w(u,v)。如果这个值比目前已知的d[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前d[v]中的值。拓展边的操作一直执行到所有的d[v]都代表从s到v最短路径的花费。这个算法经过适当的组织因而当d[u]达到它最终的值的时候，每条边(u,v)都只被拓展一次。

算法维护两个顶点集S和Q。集合S保留了我们已知的所有d[v]的值已经是最短路径的值顶点，而集合Q则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。这个被选择的顶点是Q中拥有最小的d[u]值的顶点。当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对每条外接边(u,v)进行拓展。

算法思想

设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。
①初始化
　初始化时，只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0)，故红点集S={s}，蓝点集为空。
②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径
　在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证按路径权重递增的次序来产生各顶点的最短路径。
　当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。
注意：
　①若从源点到蓝点的路径不存在，则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。
　②从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，并记为SD(v)。
（3）在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集
　根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是：
　源点，红点1，红点2，…，红点n，蓝点k
距离为：源点到红点n最短距离+<红点n,蓝点k>边长
　为求解方便，设置一个向量D[0．．n-1]，对于每个蓝点v∈ V-S，用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点(若有中间点，则必为红点)的"最短"路径长度（简称估计距离）。
　若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若D[k]=min{D[i] i∈V-S}，则D[k]=SD(k)。
　初始时，每个蓝点v的D[c]值应为权w<s，v>，且从s到v的路径上没有中间点，因为该路径仅含一条边<s，v>。
注意：
　在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键

（4）k扩充红点集s后，蓝点集估计距离的修改
　将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。
对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使D[j]变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：P=<s，…，k，j>。且D [j]减小的新路径P只可能是由于路径<s，…，k>和边<k，j>组成。
　所以，当length(P)=D[k]+w<k，j>小于D[j]时，应该用P的长度来修改D[j]的值。

（5）Dijkstra算法

伪代码：

Dijkstra(G，D，s){
//用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
//以下是初始化操作
S={s}；D[s]=0； //设置初始的红点集及最短距离
for( all i∈ V-S )do //对蓝点集中每个顶点i
D[i]=G[s][i]； //设置i初始的估计距离为w<s，i>
//以下是扩充红点集
for(i=0;i<n-1;i++)do{//最多扩充n-1个蓝点到红点集
D[k]=min{D[i]：all i V-S}； //在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k
if(D[k]等于∞)
return； //蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时，
//表示这些顶点的最短路径不存在。
S=S∪{k}； //将蓝点k涂红后扩充到红点集
for( all j∈V-S )do //调整剩余蓝点的估计距离
if(D[j]>D[k]+G[k][j])
//新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，
//使j离s更近。
D[j]=D[k]+G[k][j]；
}
}

实现存储最短路径代码（经过运行成功）

#include "stdafx.h"
#include<iostream>
using namespace std;

#define MAXVEX 6
#define INFINITY (INT_MAX >> 1)

class Graph
{
public:
Graph();

int Gr[MAXVEX][MAXVEX];
};

Graph::Graph()
{
for (int i = 0; i < MAXVEX; i++)
for (int j = 0; j < MAXVEX; j++)
{
if (i == j)
Gr[i][j] = 0;
else
Gr[i][j] = INFINITY;
}
}

//Dijkstra算法

void Dijkstra(Graph G,int s)
{
int final[MAXVEX]={0,0,0,0,0,0};//红，蓝点集 final[i]=1在红点集，final[i]=0在蓝点集
int Path[MAXVEX][MAXVEX]={
{INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY},
{INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY},
{INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY},
{INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY},
{INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY},
{INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY}
};
int f=0;
final[s]=1;
Graph D=G;
for(int i=1;i<MAXVEX;i++)
{
int min=INFINITY;
for(int v=0;v<MAXVEX;v++)
if(final[v]==0&&D.Gr[s][v]<min)
{
f=v;
min=D.Gr[s][v];

}
final[f]=1;
Path[f][f]=1;
Path[f][s]=1;
for(int w=0;w<MAXVEX;w++)
if(final[w]==0&&D.Gr[s][w]>G.Gr[f][w]+min)
{

D.Gr[s][w]=min+G.Gr[f][w];
for(int i=0;i<MAXVEX;i++)
Path[w][i]=Path[f][i];//将经过点F的点都 赋给经过点W的路径
// Path[w][s]=1;
// Path[w][w]=1;
}
}

//打印结果
for(int i=1;i<MAXVEX;i++)
{
cout<<s<<"-->"<<i<<":"<<D.Gr[s][i]<<endl;
cout<<"Path:";
for(int j=0;j<MAXVEX;j++)
if(Path[i][j]!=INFINITY)
cout<<j<<" "; cout<<endl;
cout<<"--------------------------------------"<<endl;
}
//cout<<endl;

}

//测试主程序

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
Graph G;
int a[MAXVEX][MAXVEX]={
{0,1,INFINITY,INFINITY,INFINITY,1},
{1,0,1,INFINITY,1,INFINITY},
{INFINITY,1,0,1,INFINITY,1},
{INFINITY,INFINITY,1,0,1,INFINITY},
{INFINITY,1,INFINITY,1,0,INFINITY},
{1,INFINITY,1,INFINITY,1,0}
};

for(int i=0;i<MAXVEX;i++)
for(int j=0;j<MAXVEX;j++)
G.Gr[i][j]=a[i][j];
Dijkstra(G,0);

return 0;
}