hdu 1166 树状数组

简单介绍下 树状数组 :

　　 树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组a[1...n]，那么查询a[1] + …… + a[i]　的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

来观察一下这个图：



令这棵树的结点编号为C1，C2……Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
……
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质，下午推了一下发现：
设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，所以很明显：
Cn = A(n – 2^k + 1) + …… + An
算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：
int lowbit(int x){
return x & (x ^ (x – 1));
}

当想要查询一个SUM(n)时，可以依据如下算法即可：
step1:　令sum = 0，转第二步；
step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；
step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：
n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：
step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；
step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。
//修改过程必须满足减法规则！

所以整个程序如下：

const int MAX = 50000;

#define lowbit(x) ((x)&(-x))

int com[ MAX + 1 ],N,T;

void modify ( int pos, int val ){

while ( pos <= N ){

com[pos] += val;

pos = pos + lowbit(pos);

}

}

int quy ( int x ){

int sum = 0;

while ( x > 0 ){

sum = sum + com[x];

x = x - lowbit(x);

}

return sum;

}

初始化 : 　　 for ( int i = 1; i <= N; ++ i ){
scanf ( "%d",&x );
modify ( i, x );
}
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本题代码如下 :

/*

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http://www.cnblog.com/MiYu

我自己的代码：

/*1166 敌兵布阵*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 50005

int num
;
int tree
;

int lowbit(int x){
return x&(x^(x-1));
}

void buid_arrtree(int *pt,int *pn,int n)
{//个人觉得这里的biud很巧，因为我没想到，我一开始就直接求出每个区间就直接一个for循环来求，在网上看到别人这样做，一下就觉得很高效
//比我的好多了
int i,j;
for(i = 1;i <= n;i++)
*(pt+i) = *(pn+i)-*(pn+i-lowbit(i));
}

void change_tree(int *pt,int n,int k,int data)
{
while(k <= n){
*(pt+k) += data;
k += lowbit(k);
}
}

int get_sum(int *pt,int k)
{
int sum = 0;
while(k >=1){
sum += *(pt+k);
k -= lowbit(k);
}
return sum;
}

int main()
{
int i;
int tcase;
int n;
int a,b;
int sum;
int walk = 0;
char str[6];
scanf("%d",&tcase);
while(tcase--){
scanf("%d",&n);
for(i = 1;i <= n;i++){
scanf("%d",num+i);
num[i] += num[i-1];
}
buid_arrtree(tree,num,n);
printf("Case %d:/n",++walk);
while(1){
scanf("%s",str);
if(!strcmp(str,"End"))
break;
if(!strcmp(str,"Add")){
scanf("%d %d",&a,&b);
change_tree(tree,n,a,b);
}
if(!strcmp(str,"Sub")){
scanf("%d %d",&a,&b);
change_tree(tree,n,a,-b);
}
if(!strcmp(str,"Query")){
scanf("%d %d",&a,&b);
sum = get_sum(tree,b)-get_sum(tree,a-1);// 这里第二个get_sum（tree,a-1）为a-1是因为要求求的区间是闭区间
printf("%d/n",sum);
}
}
}
return 0;
}
//第一个树状数组，coding~~~~~~~~~~~~~~~~~!!!!