poj 1637 zoj 1992

经典的混合欧拉回路问题。

这道题是黑书里面的例题，刚开始见到它时很快就想到了用网络流，但网络流接触得少，一直在构图上没有突破。后来查看了黑书，不过黑书上讲解得比较复杂，看完了还是构不出图— —|||最后只能上网找讲解，嗯，牛人的讲解就是中要害，马上理解很快就2Y了。

这里是摘录牛人的解法：

判断一个图中是否存在欧拉回路（每条边恰好只走一次，并能回到出发点的路径），在以下三种情况中有三种不同的算法：

一、无向图
每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。
二、有向图（所有边都是单向的）
每个节顶点的入度都等于出度，则存在欧拉回路。

三.混合图欧拉回路
　　混合图欧拉回路用的是网络流。
　　把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度，包括那些定向边所关联的点。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
　　好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
　　现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
　　由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
　　所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

发现欧拉图的问题可以用网络流的方法或者是用搜索可以解答，这里要好好总结一下。另外，还发现，如果问题中所描述的对象，其自身的某些性质有对称性时，可以使用网络流模型，网络流模型的难点集中在构图上！！！

以下是代码，最大流的算法是EK算法：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N=300;
const int inf=1<<29;
int map

;
int pre
,flow
;
int fullflow,maxflow;
int in
,out
;
int n,m,s,s1,t1;
int min(int a,int b) {return a<b?a:b;}

void build()
{
s1=0;t1=n+1;
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
{
int x=abs(out[i]-in[i])/2;
if(out[i]>in[i])
{
map[s1][i]=x;
fullflow+=x;
}
else
{
map[i][t1]=x;
}
}
}

bool test()
{
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
if(abs(in[i]+out[i])%2!=0) return false;
return true;
}

int bfs(int star,int end)
{
int queue[3*N];
int rear=0,front=0;
int i,j;
for(i=0;i<=n+2;i++)
pre[i]=-1;
pre[star]=0;
flow[star]=inf;
queue[rear++]=star;
while(front<rear)
{
int index=queue[front++];
if(index==end) break;
for(i=1;i<t1+1;i++)
{
if(i!=star && map[index][i]>0 && pre[i]==-1)
{
pre[i]=index;
flow[i]=min(map[index][i],flow[index]);
queue[rear++]=i;
}
}
}
if(pre[end]==-1) return -1;
else return flow[end];
}

void Maxflow(int star,int end)
{
int inc=0;
while((inc=bfs(star,end))!=-1)
{
int k=end;
while(k!=star)
{
int last=pre[k];
map[last][k]-=inc;
map[k][last]+=inc;
k=last;
}
maxflow+=inc;
}
}

int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(in,0,sizeof(in));
memset(out,0,sizeof(out));
memset(map,0,sizeof(map));
fullflow=0;
maxflow=0;
int a,b,c;

while(m--)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
out[a]++;
in[b]++;
if(c) continue;
else
{
map[a][b]++;
}
}

if(!test()) printf("impossible/n");
else
{
build();
Maxflow(s1,t1);
if(maxflow==fullflow)
printf("possible/n");
else
printf("impossible/n");
}
}
return 0;
}