您的位置：首页 > 其它

邮局问题的相关讨论

2011-03-31 23:39 176 查看

我先简要说明一下题意：
在一维坐标轴上，有n个村庄，要把选一个邮局建在某个村庄上。要满足一个要求：各个村庄到达这个邮局的距离之和的总和要最小。求邮局的最佳选址。

一：论证邮局问题的最优解是带权中位数：
先了解一些符号的意思：
D[I]—第I个点的权值 　　
DIST(I，J)—I到J点的距离，即DIST(I，J)=|NUM[I]-NUM[J]| 　　
由定义式易知：DIST(I，J)=DIST(I，J)

若最优点在T 　　
则有： 　　
∑{D[I]*DIST(I，T)}(I<>T) <= ∑{D[I]*DIST(I,T+1)}(I<>T+1)
//最优点的到点的距离之和明显不大于其他点的，当然T+1也不例外。

∑{D[L]}*DIST(L,T)}+∑{D[R]*DIST(R,T)}+D[T+1]*DIST(T+1,T) 　　<=∑{D[L]}*DIST(L,T+1)}+∑{D[R]*DIST(R,T+1)}+D[T]*DIST(T,T+1) (L<T&R>T+1)
//所有点到可以分成三类：T左边的点为L类，T+1右边的点为R类，T或T+1点自成一类。

整理得：
∑{D[L]*DIST(L,T+1)}-∑{D[L]*DIST(L,T)}(L<T)+D[T]*(DIST(T,T+1))>=∑{D[R]*DIST(R,T)}-∑(D[R]*DIST(R,T+1))(R>T+1)+D[T+1]*(DIST(T,T+1))
//将于L相关的放在一边，与R相关的放在另一边。

∑{D[L]*(DIST(L,T)-DIST[L,T+1])}(L<=T)<=∑{D[R]*(DIST(R,T+1)-DIST(R,T))}(R>=T+1)
//这里要注意的是T和R的定义已经发生了变化，L<=T R>=T+1。定义的变化是为式子更加整洁。然后将上式子两边同乘以-1，并且把公因数提取出来。

因为
DIST(L,T)-DIST(L,T+1)=DIST(T,T+1)
DIST(R,T+1)-DIST(R,T)=DIST(T+1,T)
DIST(T,T+1)=DIST(T+1,T)
所以
∑{D[L]*DIST(T,T+1)*(-1)(L<=T)<=∑{D[R]*DIST(T+1,T)
*(-1)}(R>=T+1)

∑D[L](L<=T)>=∑(D[R])(R>=T+1) 　　
//两边消掉DIST(T,T+1)*(-1)
即：∑D[L](L<T)+D[T]>=∑(D[R])(R>T)
而类似的，我们可以证明其右边的权值和加上D[T]后大于左边的权值和，只要将第一步改成：
∑{D[I]*DIST(I，T)}(I<>T) <= ∑{D[I]*DIST(I,T-1)}(I<>T-1)
其他的步骤类似。

因为左边的权值和数+D[T]>=右边的权值和，那么：　　LEFTSUM+D[T]>=RIGHTSUM=SUMALL-(LEFTSUM+D[T]) 　　=>2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL 　　=>2*RIGHTSUM<=SUMALL
同理可得： 2*LEFTSUM<=SUMALL
综上所述：
RIGHTSUM <= SUMALL/2
LEFTSUM<=SUMALL/2
很明显，我们假设的最优点既是带权中位数。
证毕。

二：求出n个元素的带权中位数：
思路：
SUM为1..n号元素的和。
先假设带权中位数就是val[n/2]，通过遍历1..n/2-1求出他们的和leftSum，
同理n/2+1..n号元素的和为rightSum。
如果leftSum < SUM /2 且 rightSum < SUM / 2, 那么显然val[n/2]必然为带权中位数。
当 leftSum > SUM / 2，带权中位数必然在左边,因为如果在右边，那么leftSum依然大于SUM / 2，矛盾。
此时把权重rightSum加到val[n/2]的权重上，我们不必关心每个值的具体权重，因为对带权中位数而言，右边的val的权重的和只要不变，就对它毫无影响。而val[n/2]一定在带权中位数右边，所以可以把权重rightSum加到val[n/2]的权重上。
此时只要递归从1..n/2中找即可。

如果rightSum > SUM /2 且 leftSum < SUM / 2，道理是一样的。

复杂度分析：
计算SUM. O(n)
递归找带权中位数：
T(n) = O(n) + O(n/2) + O(n/4) + O(n/8)..O(n/2i) + T(n/2i+1)
令n/2i+1 = 1
所以T(n/2i+1) = T(1)
所以T(n) = c * (n + n/2 + n/4 ...n/2i) + T(1) < 2 * cn + 1 = O(n)
综上所述
O(n) + T(n) < O(n) * 2 = O(n)
伪代码就不写了，很容易百度出来。

内容来自用户分享和网络整理，不保证内容的准确性，如有侵权内容，可联系管理员处理

标签：

相关文章推荐

新的分享

章节导航