《编程之美》读书笔记22： 1.16 24点游戏

《编程之美》读书笔记22： 1.16 24点游戏

给定4个数，能否只通过加减乘除计算得到24？由于只有4个数，弄个多重循环，就可以。如果要推广到n个数，有两种思路：

① 采用前缀/后缀表达式。相当于将n个数用n-1个括号括起来，其数目就是一个catlan数。最多可得到 f(n) = (1/n * (2*n - 2)! / (n-1)! / (n-1)!) * n! * 4^(n-1) = 4^(n-1) * (2*n-2)! / (n-1)! 种表达式，当n=4时，共可得到 7680种。

② 从n个数中任意抽取2个，进行计算最多有6种结果，将计算结果放回去，再从剩下的n-1个任取2个，进行计算，如此反复，直到只剩下1个数。按这种算法，共要处理表达式：g(n)=(n*(n-1)/2*6) * ((n-1)*(n-2)/2*6) * ((n-2)*(n-3)/2*6) * (2*1/2*6) = n!*(n-1)!*3^(n-1)当n=4时，最多要处理3888种。 (书上的代码将这两种思路混在一块了。)

f(n) / g(n) = (4/3)^(n-1) * (2*n-2)! / n! / (n-1)! / (n-1)!

很明显，当n比较大时（比如n大于8），会有 f(n) < g(n)。比如：f(10)/g(10)=0.178。

从f(n)与g(n)的比值，可以看出，这两种解法都存在大量的不必要计算。当n比较大时，思路2的冗余计算已经严重影响了性能。要如何减少这些不必要计算呢？

可以记录得到某个计算结果时所进行操作。比如: a、b、c和d这4个数取前2个，进行加法计算得到 a+b，则记录‘+’。另外，假设加减号的优先级为0，乘除号的优先级为1。

a和b进行减/除计算时，实际上得到 a-b与b-a，a/b与b/a。

当取出2个数a和b，进行计算，这两个数上次的操作符有下面这几种情况：

① 都为空：

要计算6个结果，即 a+b, a-b, b-a, a*b, a/b, b/a。

② 只有一个为空：假设： a = a1 op1 a2

⑴　一种剪枝方法是： 若op1为减（除）号，则不进行加减（乘除）计算。

因为： (a-b)-c可以转为a-(b+c)，这两个表达式只要计算一个就可以。

⑵　另一种剪枝方法：额外记录每次计算最靠后的那个数的位置。比如位置顺序：a、b、c、d，进行a+c计算时，记录了c位置，再与数b计算时，由于b位置在c位置前，不允许计算 (a+c) + b 和 (a+c) – b这样就避免了表达式 a+b+c和 a-b+c被重复计算。

③ 都不为空： 假设： a = a1 op1 a2， b= b1 op2 b2

要计算的结果： a op3 b = （a1 op1 a2）op3 (b1 op2 b2)

⑴　如果 op1 和 op2的优先级相同，那么 op3 的优先级不能与它们相同，若相同，则原来的表达式可以转为 ((a1 op4 a2) op5 b1) op6 b2，因而没必要对原来的表达式进行计算。比如 (m1+m2)与(m3-m4)之间只进行乘除计算，而不进行加减计算。

⑵　如果 op1 和 op2的优先级不同，那么 op3 无论怎么取，其优先级都必会与其中一个相同，则原表达式可以转化((c1 op4 c2) op5 c3) op6 c4这种形式，因而该表达式没必要计算。如(m1+m2)与(m3*m4)，不进行任何计算。

总之：op1 与 op2优先级不同时，不进行计算。

op1 与 op2优先级相同时，进行计算的操作符优先级不与它们相同。

要注意的是：剪枝不一定提高性能（在笔记1.3 一摞烙饼的排序 中已经说明了这个问题）。如果n个数计算可得到24，过多的避免冗余计算，有可能严重降低性能。计算n=6时，碰到一个组合，仅使用了③的剪枝方法，得到结果时处理了四百个表达式，但再采用了②的第一种剪枝方法，处理的表达式达到五十三万多。（也许②的第二种剪枝方法不存在这么严重的问题。）与烙饼排序不同的是，烙饼排序总能找到一个结果，而n个数计算有可能无解。显然在无解时，采用尽可能多的剪枝方法，必然会极大的提高性能。

另外，对于输出表达式，书上的程序进行了大量的字符串操作，实际上可以只记录，每一步取出的两个数的位置（即记录i、j值），在需要输出时，再根据所记录的位置，进行相应的字符串操作就可以了。

#include <iostream>
2#include <string>
3#include <set>
4#include <cmath>
5using namespace std;
6
7bool calc(int src[], size_t N, double M = 24.0)
8
int main()

下面的代码是个半成品：

#include<iostream>
#include<sstream>
#include<cmath>
using namespace std;

const double Result = 24;
const size_t Cards = 6;
size_t pos[Cards];

static long long count1=0;
static long long count2=0;
static bool calc(size_t step);

inline bool calc2(size_t step, size_t i, double na, double nb, char op9)

inline bool iszero(double num)

size_t getop(const char op9)

bool calc(size_t step)

int main()