台阶问题

该程序给出了使用递归方式以及使用迭代方式两种算法实现。该两种实现都基于如下推导：

当 m = n, n != 1 时，f(n) = 2(n-1)

即 f(n) 为 二项式 (a+b)n 展开式各项系数之和，推导如下：
设楼梯有 n 级，某人一步最多迈 m(m=n) 级，使用“隔板法”（共 n-1 个空位）可得 f(n) = ∑n=1nCnn-1 = 2n-1。
当 m <=n 时，f(n) = 2*f(n-1) - f(n-m-1)

即 f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(n-m) 代入 n 后的递推式，推导如下：
归纳可得 f(n) 为先上 1 步、2 步、...、m 步走法只和：f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(n-m)。
逐步代入展开：f(n) = (f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-m-1))+ f(n-2) + ... + f(n-m)，即（展开 f(n-1)）... => f(n) = 2*f(n-1) - f(n-m-1)。

f(n) 可根据 m 分三类情况求解：

当 m = 1 时，有且仅有 1 种走法，f(n)=1

当 m <= n 时，f(n) = 2*(f(n-1) - f(n-m-1)，特别地，

当 m = n 时，f(n) = 2n-1

Liang Ding
* @version 1.0.0.2, Mar 14, 2011
*/
public final class Main {

/**
* 一步最多迈 {@value #M} 级。
*/
private static final int M = 20;
/**
* 楼梯共有 {@value #N} 级台阶。
*/
private static final int N = 30;
/**
* 保存中间计算结果 f(0)...f(N)。
*/
private static final long[] F = new long[N + 1];

/**
* 检查给定的 {@linkplain #N N} 与 {@linkplain #M M} 是否满足：
*
*   N >= 1

*   M >= 1

*   N >= M

*
*/
private static void check() {
if (N < 1) {
throw new IllegalArgumentException("N must larger or equal than 1");
}

if (M < 1) {
throw new IllegalArgumentException("M must larger or equal than 1");
}

if (M > N) {
throw new IllegalArgumentException("N must larger or equal than M");
}
}

/**
* 主程序入口。
*
* @param args 指定的参数（将被忽略）
*/
public static void main(final String[] args) {
check();

if (1 == M) {
// 有且仅有 1 种走法
System.out.println("f(n)=1");
return;
}

init();
long start = System.currentTimeMillis();
f(N);
long used = System.currentTimeMillis() - start;
System.out.println("Recursively, f(n)=" + F
+ ", used " + used
+ " millis");

init();
long start2 = System.currentTimeMillis();
f_(N);
long used2 = System.currentTimeMillis() - start2;
System.out.println("Iteratively, f(n)=" + F
+ ", used " + used2
+ " millis");
}

/**
* 初始化 F[0]...F[M]。
*/
private static void init() {
F[0] = 1;
F[1] = 1;
F[2] = 2;

for (int n = 3; n <= M; n++) {
F
= 1 << (n - 1);
}
}

/**
* 迭代求 f(n)，计算结果保存在 F
中。
*
* 时间复杂度：
*

*     最坏 O(n)，当 m == 1 时

*     最好 O(1)，当 n == M 时

*

* @param n 指定的 n
*/
public static void f_(final int n) {
for (int i = 3; i <= N; i++) {
if (i <= M) {
continue; // F[0]...F[M] 已在初始化中求出。
}

// 开始迭代求解， f(n)= 2 * f(n-1) - f(n-M-1)
F[i] = 2 * F[i - 1] - F[i - M - 1];
}
}

/**
* 递归求 f(n)，计算结果保存在 F
中，时间复杂度为 O(2^n)。
*
* @param n 指定的 n
* @return F

*/
public static long f(final int n) {
// F[0]...F[M] 已在初始化中求出。
if (0 == n || 1 == n) {
return F[0];
}

if (2 == n) {
return F[2];
}

if (M >= n) {
return F
;
}

// 开始递归求解， f(n）= 2 * f(n-1) - f(n-M-1)
F
= 2 * f(n - 1) - f(n - M - 1);

return F
;
}

private Main() {
}
}

足见，程序员绝对需要一定的数学知识。

本文是使用 B3log Solo 从 简约设计の艺术 进行同步发布的原文地址：http://88250.b3log.org/steps-problem.html