01背包问题小结

背包问题小结
例题1、 基本的0-1背包问题（HDU 2602）

这是最基本的01背包模型。定义f[i][j]：在前i个bone中用容量为j的包选择bone所能得到的最大价值。设：第i个bone的volume为c[i]，相应的value为w[i]。分析：将“前i个bone装进容量为j的包中所得到的最大价值”这个子问题的求解，考虑第i个bone，则会有两种策略：<1>、不选择第i个bone，此时子问题的解为将“前i-1个bone装进容量为j的包中所得到的最大价值”即：f[i][j]=f[i-1][j]；<2>、选择第i个bone，则子问题的解为将“第前i-1个bone装入背包容量为j-c[i]的包中所得到的最大价值”与第i个bone的价值之和， 即：f[i][j]=f[i-1][j-c[i]]+w[i]。

状态转移方程为：f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]}；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<stdlib.h>
#include<cmath>
#define Max 1001
using namespace std;
int c[Max],w[Max],bag,f[Max];
void ZeroOnePack(int cost,int weight)
{
for(int i=bag;i>=cost;i--) //细节：for循环的起始不能弄颠倒了！
if(f[i]<f[i-cost]+weight)
f[i]=f[i-cost]+weight;
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n;
scanf("%d%d",&n,&bag);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);//读入数据
memset(f,0,(bag+1)*sizeof(int)); // 初始化
for(int i=1;i<=n;i++)
ZeroOnePack(c[i],w[i]); //01背包
printf("%d/n",f[bag]);
}
return 0;
}

例题2、 简单01背包的变形（HDU 1203）
在例1分析了01背包问题基本模型的基础上，很容易能够看出来本题也一道01背包的题目。值得注意的是这个背包问题的价值是概率。定义：f[i][j]为在前i个学校中花费j美元没有被录取的最小概率。设：其中报考第i个学校需要花费c[i]美元，能够被录用的概率为w[i]。在求解f[i][j]的时候，同样考虑第i个学校，有两种策略：<1>、不选择，则：f[i][j]=f[i-1][j]，<2>、选择，则：f[i][j]=f[i-1][j-c[i]]*(1-w[i])。

状态转移方程为：f[i][j]=min{f[i-][j],f[i-1][j-c[i]]*(1-w[i])}；

#include<iostream>
#include<cstdio>
# define Max 1001
using namespace std;
int c[Max],bag;
double w[Max],f[10001];
void ZeroOnePack(int cost,double weight)
{
for(int i=bag;i>=cost;i--)
if(f[i]>f[i-cost]*weight)
f[i]=f[i-cost]*weight;
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d%d",&bag,&n),bag||n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%lf",&c[i],&w[i]);
for(int i=0;i<=bag;i++)
f[i]=1.0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ZeroOnePack(c[i],1.0-w[i]);
printf("%.1lf%%/n",(1-f[bag])*100.0);
}
return 0;
}

例题3、 复杂设问的01背包（HDU 2955）
这是一道在设问方式上显得有点复杂的01背包问题，这个背包问题中得到的价值是银行中的money，相应的花费是概率，常规的构造状态转移方程是令f[i][j]表示前i件物品中花费为j时所能得到的最大价值。然而，这道题中的花费为浮点数！该怎么办呢？？？
起初做这道题目的时候很是纠结！想了想觉得肯定是背包问题，那么可以变通一下：令f[i][j]表示在前i个银行中偷得的money为j时能够逃脱的最大概率，这样以来便可以写出状态转移方程：f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]*(1-p[i])}，其中我们设第i个银行中money为c[i] millon，被caught的概率为p[i]。
分析易得：cnt=max(i，f[i]>=1-P)，这样问题便间接地得到了解决。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define Max 101
using namespace std;
int c[Max],bag;
double f[10001],p[Max],P;
void ZeroOnePack(int cost,double weight){
for(int i=bag;i>=cost;i--)
if(f[i]<f[i-cost]*weight)
f[i]=f[i-cost]*weight;
}
int main(){
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
int n;
scanf("%lf%d",&P,&n);
bag=0;
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d%lf",&c[i],&p[i]);
bag+=c[i];
}
for(int i=1;i<=bag;i++)
f[i]=0.0;
f[0]=1.0;
for(int i=0;i<n;i++)
ZeroOnePack(c[i],1-p[i]);
for(int i=bag;i>=0;i--){
if(f[i]>=1.0-P){
printf("%d/n",i);break;
}
}
}
return 0;
}

关于01背包初始化问题小结：

熟悉了01背包的基本模型之后，不同的01背包问题在状态转移方程上是很容易构造的。难点往往在初始化过程中。对于不同的设问方式，我们要能够巧妙地通过巧妙的初始化来使问题得到简化、解决。例如有的题目要求背包“恰好装满时”的最优解，这时可以巧妙地采用如下的初始化来解决：f[0]=0;f[1..bag]=-INF。而在例3中则采取了另一种方式初始化来满足隐含着的“恰好”要求。当然，还是得具体问题具体分析了。学习动态规划时，仔细分析理解透彻状态转移方程是很重要、很有效的一种方法。难以理解的时候，可以自己动手边思考边模拟一下动态规划打表的过程，相信一定会有所收获的！