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线性时间选择

2011-03-01 14:08 162 查看

线性时间选择

出自：http://algorithm.chaoskey.com/02/07

【题目
】：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素，（这里给定的线性集是无序
的）

【思路
】：如果能在线性时间内找到一个划分基准
，使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1是某个正常数)，那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。

例如
：若ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递归式T(n)≤T(9n/10)+O(n) 。由此可得T(n)=O(n)。

【具体解题
】：这里我们将所有的数（n个），以每5个划分为一组，共[n/5]组（将不足五个的那组忽略）；然后用任意一种排序算法
（因为只对五个数进行排序，所以任取一种排序法就可以了，这里我选用冒泡排序），将每组中的元素排好序再分别取每组的中位数，得到[n/5]个中位数；再
取这[n/5]个中位数的中位数（如果n/5是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个）作为划分基准，将全部的数划分为两个部分，小于基准的在左边，大于
等于基准的放右边。

在这种情况下，找出的基准x至少比3(n-5)/10个元素大，因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数，中位数处于1/2*[n/5-1]，即n/5
个中位数中又有(n-5)/10个小于基准x。同理，基准x也至少比3(n-5)/10个元素小。而当n≥75时，3(n-5)/10≥n/4所以按此基
准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。

程序代码如下：

#include<iostream.h>

#include<stdlib.h>

#include<time.h>

#define MAX_VALUE 10000

#define random() rand()%MAX_VALUE

#define N 10000

int a
;

class Find

{

public:

void bubble(int first,int end) //

冒泡排序

{

for(int flag=first;flag<end;flag++)

for(int i=end;i>flag;i--)

if(a[i]<a[i-1])

{
int t=a[i];

a[i]=a[i-1];

a[i-1]=t;

}

}

int partition(int p,int r,int x) //

数组
a

中从
a[p]

到
a[r]

的元素按照
x

划分
,

大于
x

的在左边
,

小于
x

的在右边

{

int i,j;

for(i=p,j=r;i<j;i++)

{

if(a[i]>x)

{

while(i<j&&a[j]>x)

j--;

if(i!=j){

int t=a[i];

a[i]=a[j];

a[j]=t;

j--;

}

}

}

return i-1;

}

int select(int p,int r,int k)
//

寻找中位数

{

if(r-p<5){

bubble(p,r);

return a[p+k-1];

}

for(int i=0;i<(r-p-4)/5;i++)

{

int s=p+5*i,t=s+4;

bubble(s,t);

int temp=a[p+i];

a[p+i]=a[s+2];

a[s+2]=temp;

}

int x=select(p,p+(r-p-4)/5,(r-p+6)/10);

i=partition(p,r,x);

int j=i-p+1;

if(k<=j)

return select(p,i,k);

else

return select(i+1,r,k-j);

}

};

void main()

{

clock_t
start,end;

double
elapsed;

srand((int)time(NULL));

for(int k=0;k<N;k++)

{

a[k]=random();

cout<<a[k]<<"/t";

}

cout<<endl;

start=clock();

Find f;

int n=5000;

cout<<"The No."<<n<<" is :"<<f.select(0,N-1,n)<<endl;

end=clock();

elapsed=((double)(end-start));///CLOCKS_PER_SEC;

cout<<"Time: "<<elapsed<<endl;

}

这个题目关键在寻找划分基准，从而提高寻找效率，时间复杂度为o(n);
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